如何绘制随机平面

Question

我正在使用以下代码绘制随机平面，这些平面在三维空间中经过原点。

from __future__ import division
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

#Number of hyperplanes
n = 20
#Dimension of space
d = 3

plt3d = plt.figure().gca(projection='3d')
for i in xrange(n):
    #Create random point on unit sphere
    v = np.random.normal(size = d)
    v = v/np.sqrt(np.sum(v**2))
    # create x,y
    xx, yy = np.meshgrid(range(-5,5), range(-5,5))
    z = (-v[0] * xx - v[1] * yy)/v[2]
    # plot the surface
    plt3d.plot_surface(xx, yy, z, alpha = 0.5)
plt.show()

但是从图片来看，我不相信它们是均匀选择的。我做错了什么？

- Simd

---

热死了！一个真正的最小工作示例。点个赞。 - Veedrac

@Veedrac，你不能用一个单一的法向量来定义一个通过原点的平面吗？请参见http://math.stackexchange.com/questions/952525/select-a-random-hyperplane。此外，我正在使用的方法是在http://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html中描述的“选择随机点的另一种简单方法”。 - Simd

啊，你两点都说对了。我真是太傻了。 - Veedrac

Answer 1

我建议您检查一下坐标轴。您的计算使得Z轴过于大，这意味着您有一个非常偏颇的观点。

首先，请确保您的法线在圆上均匀分布：

from __future__ import division
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

#Number of hyperplanes
n = 1000
#Dimension of space
d = 3

plt3d = plt.figure().gca(projection='3d')
for i in xrange(n):
    #Create random point on unit sphere
    v = np.random.normal(size = d)
    v = v/np.sqrt(np.sum(v**2))
    v *= 10

    plt3d.scatter(v[0], v[1], v[2])

plt3d.set_aspect(1)
plt3d.set_xlim(-10, 10)
plt3d.set_ylim(-10, 10)
plt3d.set_zlim(-10, 10)

plt.show()

然后检查您的平面是否被正确创建：

from __future__ import division
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

#Number of hyperplanes
n = 1
#Dimension of space
d = 3

plt3d = plt.figure().gca(projection='3d')
for i in xrange(n):
    #Create random point on unit sphere
    v = np.random.normal(size = d)
    v = v/np.sqrt(np.sum(v**2))
    v *= 10

    # create x,y
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(-5,5,0.3), np.arange(-5,5,0.3))
    xx = xx.flatten()
    yy = yy.flatten()
    z = (-v[0] * xx - v[1] * yy)/v[2]

    # Hack to keep the plane small
    filter = xx**2 + yy**2 + z**2 < 5**2
    xx = xx[filter]
    yy = yy[filter]
    z = z[filter]

    # plot the surface
    plt3d.scatter(xx, yy, z, alpha = 0.5)

    for i in np.arange(0.1, 1, 0.1):
        plt3d.scatter(i*v[0], i*v[1], i*v[2])

plt3d.set_aspect(1)
plt3d.set_xlim(-10, 10)
plt3d.set_ylim(-10, 10)
plt3d.set_zlim(-10, 10)

plt.show()

然后您就可以看到您实际上得到了良好的结果！

from __future__ import division
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

#Number of hyperplanes
n = 100
#Dimension of space
d = 3

plt3d = plt.figure().gca(projection='3d')
for i in xrange(n):
    #Create random point on unit sphere
    v = np.random.normal(size = d)
    v = v/np.sqrt(np.sum(v**2))
    v *= 10

    # create x,y
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(-5,5,0.3), np.arange(-5,5,0.3))
    xx = xx.flatten()
    yy = yy.flatten()
    z = (-v[0] * xx - v[1] * yy)/v[2]

    # Hack to keep the plane small
    filter = xx**2 + yy**2 + z**2 < 5**2
    xx = xx[filter]
    yy = yy[filter]
    z = z[filter]

    # plot the surface
    plt3d.scatter(xx, yy, z, alpha = 0.5)

plt3d.set_aspect(1)
plt3d.set_xlim(-10, 10)
plt3d.set_ylim(-10, 10)
plt3d.set_zlim(-10, 10)

plt.show()

- Veedrac

Answer 2

你的代码正在生成具有随机分布法线的平面。它们看起来不是那样，因为z轴比x轴和y轴大得多。

通过生成在平面上均匀分布的点，可以生成更好的外观图像。为此，使用新坐标（u，v）对平面进行参数化，然后在一致间隔的（u，v）点网格上对平面进行采样。然后将这些（u，v）点转换为（x，y，z）空间中的点。

from __future__ import division
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import math
import itertools as IT

def points_on_sphere(dim, N, norm=np.random.normal):
    """
    http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Generating_random_points
    """
    normal_deviates = norm(size=(N, dim))
    radius = np.sqrt((normal_deviates ** 2).sum(axis=0))
    points = normal_deviates / radius
    return points

# Number of hyperplanes
n = 10
# Dimension of space
d = 3

fig, ax = plt.subplots(subplot_kw=dict(projection='3d'))
points = points_on_sphere(n, d).T
uu, vv = np.meshgrid([-5, 5], [-5, 5], sparse=True)
colors = np.linspace(0, 1, len(points))
cmap = plt.get_cmap('jet')
for nhat, c in IT.izip(points, colors):
    u = (0, 1, 0) if np.allclose(nhat, (1, 0, 0)) else np.cross(nhat, (1, 0, 0))
    u /= math.sqrt((u ** 2).sum())
    v = np.cross(nhat, u)
    u = u[:, np.newaxis, np.newaxis]
    v = v[:, np.newaxis, np.newaxis]
    xx, yy, zz = u * uu + v * vv
    ax.plot_surface(xx, yy, zz, alpha=0.5, color=cmap(c))
ax.set_xlim3d([-5,5])
ax.set_ylim3d([-5,5])
ax.set_zlim3d([-5,5])        
plt.show()

或者，您可以使用Till Hoffmann的pathpatch_2d_to_3d实用程序函数来避免复杂的数学计算：

for nhat, c in IT.izip(points, colors):
    p = patches.Rectangle((-2.5, -2.5), 5, 5, color=cmap(c), alpha=0.5)
    ax.add_patch(p)
    pathpatch_2d_to_3d(p, z=0, normal=nhat)

ax.set_xlim3d([-5,5])
ax.set_ylim3d([-5,5])
ax.set_zlim3d([-5,5])        
plt.show()

- unutbu

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我非常喜欢你链接到了pathpatch_2d_to_3d，谢谢！ - Simd

Answer 3

看起来并不是一切。下次最好测量一下 :-]。由于你没有固定坐标轴，它似乎是非随机分布的。因此，您会看到一个主平面，它一直延伸到天空，而其余的部分由于比例尺，看起来非常相似且不是随机分布的。

这段代码怎么样：

from __future__ import division
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

#Number of hyperplanes
n = 20
#Dimension of space
d = 3

plt3d = plt.figure().gca(projection='3d')
for i in xrange(n):
    #Create random point on unit sphere
    v = np.random.normal(size = d)
    v = v/np.sqrt(np.sum(v**2))
    # create x,y
    xx, yy = np.meshgrid(range(-1,1), range(-1,1))
    z = (-v[0] * xx - v[1] * yy)/v[2]
    # plot the surface
    plt3d.plot_surface(xx, yy, z, alpha = 0.5)

plt3d.set_xlim3d([-1,1])
plt3d.set_ylim3d([-1,1])
plt3d.set_zlim3d([-1,1])
plt.show()

虽然不是完美的，但现在似乎更加随机了...

- Jendas

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我所使用的方法来在球面上随机选择点是在 http://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html 的末尾。然后，按照 http://math.stackexchange.com/questions/952525/select-a-random-hyperplane 定义了平面。显然，我做错了什么。 - Simd

这很有道理，但说实话，我并不真正看到它如何变成均匀分布... - Jendas

@Jendas 哈哈！看起来你比我早一个小时得到了答案，而不是3分钟！好吧，这个的输出结果有点混乱。这是你得到的结果吗？链接 - Veedrac

是的，我只是一直在编辑已删除的答案，最终到了这里。我也看到了混乱，但我专注于尽可能保持原始代码不受影响，以便提问者更好地理解......而且他还质疑了平面的均匀分布，这才是最重要的。 - Jendas

Answer 4

我试过这种方法，也许这是创建均匀平面的更好方式。我随机选择两个不同的角度用于球坐标系，并将其转换为笛卡尔坐标系以获得平面的法向量。此外，在绘图时，您应该注意您的平面中心点不在原点上。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)

for i in range(20):
    theta = 2*np.pi*np.random.uniform(-1,1)    
    psi = 2*np.pi*np.random.uniform(-1,1)
    normal = np.array([np.sin(theta)*np.cos(psi),np.sin(theta)*np.sin(psi),
                       np.cos(theta)])
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(-1,1), np.arange(-1,1))
    z = (-normal[0] * xx - normal[1] * yy)/normal[2]
    ax.plot_surface(xx, yy, z, alpha=0.5)    

- zamk