从平面方程绘制任意平面，OpenGL

Question

我有一个平面，由标准平面方程a*x + b*y + c*z + d = 0 定义，我想使用OpenGL绘制它。我应该如何得出绘制该平面所需的四个点，在3D空间中作为四边形呈现？

我的平面类型定义如下：

struct Plane {
    float x,y,z; // plane normal
    float d;
};

void DrawPlane(const Plane & p)
{
    ???
}

编辑：

重新思考问题，我实际上想要绘制三维空间中平面的离散表示，而不是无限平面。 基于@a.lasram提供的答案，我已经实现了这个功能：

void DrawPlane(const Vector3 & center, const Vector3 & planeNormal, float planeScale, float normalVecScale, const fColorRGBA & planeColor, const fColorRGBA & normalVecColor)
{
    Vector3 tangent, bitangent;
    OrthogonalBasis(planeNormal, tangent, bitangent);

    const Vector3 v1(center - (tangent * planeScale) - (bitangent * planeScale));
    const Vector3 v2(center + (tangent * planeScale) - (bitangent * planeScale));
    const Vector3 v3(center + (tangent * planeScale) + (bitangent * planeScale));
    const Vector3 v4(center - (tangent * planeScale) + (bitangent * planeScale));

    // Draw wireframe plane quadrilateral:
    DrawLine(v1, v2, planeColor);
    DrawLine(v2, v3, planeColor);
    DrawLine(v3, v4, planeColor);
    DrawLine(v4, v1, planeColor);

    // And a line depicting the plane normal:
    const Vector3 pvn(
       (center[0] + planeNormal[0] * normalVecScale),
       (center[1] + planeNormal[1] * normalVecScale),
       (center[2] + planeNormal[2] * normalVecScale)
    );
    DrawLine(center, pvn, normalVecColor);
}

OrthogonalBasis()函数计算平面法线的切线和双切线。

- glampert

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严格来说，平面是无限的，因此它没有边界顶点。此外，在三维空间中看到的平面 -> 二维投影要么占据整个投影平面（一般情况），要么变成一条线（部分情况）。你需要更好地定义你的问题。 - valdo

它也可以在相机后面（隐形） - MSalters

@valdo：如果飞机与视角轴平行，则实际上它不会填满整个视口，而是会消失在地平线上。 - datenwolf

@Vallentin 我并没有提到代码！不过我承认空函数是为了给任何想要实现它的善良灵魂一个提示；）任何能帮助我编写代码的数学定义都是非常好的！至于飞机是否无限大，是的！我的想法是在绘制之前允许用户定义平面的大小。 - glampert

Answer 1

为了让平面看起来像是无限的，你可以找到4个四边形顶点，使得剪裁后的四边形和剪裁后的无限平面形成相同的多边形。例如：

在平面上找到2个随机点P1和P2（P1不等于P2）。

推导出切线t和双切线b，如下：

t = normalize(P2-P1); // get a normalized tangent
b = cross(t, n); // the bi-tangent is the cross product of the tangent and the normal

计算视景体的包围球。该球的直径应为 D（如果这一步似乎很困难，只需将 D 设置为足够大的值，使相应的球体包含视景体即可）。

获取 4 个四边形顶点 v1、v2、v3 和 v4（根据 P1 和 P2 的选择，可以是逆时针或顺时针方向）：

v1 = P1 - t*D - b*D;
v2 = P1 + t*D - b*D;
v3 = P1 + t*D + b*D;
v4 = P1 - t*D + b*D;

- a.lasram

Answer 2

一种可能性（可能不是最干净的方法）是获取与平面对齐的正交向量，然后从那里选择点。

1. P1 = < x, y, z >
2. t1 = 与P1不共线的随机非零向量。
3. P2 = norm(P1 cross t1)
4. P3 = norm(P1 cross P2)

现在，所需平面中的所有点都定义为起始点加上P2和P3的线性组合。这样，您可以为几何体获取任意数量的点。

请注意：起始点只是您的平面法向量< x，y，z >乘以距离原点的绝对值：abs(d)。

此外，通过巧妙选择t1，您还可以使P2对齐某些视图。假设您正在从某个z点查看x，y平面。您可能希望选择t1 = < 0，1，0 >（只要它不与P1共线）。这将产生y分量为0的P2，以及x分量为0的P3。

- Steven Hansen