为什么scipy.norm.pdf有时会给出大于1的概率密度函数？如何进行修正？

Question

已知高斯（正态）随机变量的均值和方差，我想计算其概率密度函数（PDF)。

我参考了这篇文章：Calculate probability in normal distribution given mean, std in Python,

还有scipy文档：scipy.stats.norm

但是当我绘制曲线的PDF时，概率超过1！请参考此最小工作示例：

import numpy as np
import scipy.stats as stats

x = np.linspace(0.3, 1.75, 1000)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 1.075, 0.2))
plt.show()

这是我得到的结果：

我得到了什么：

如何可能获得200％的概率得到平均值1.075？我是否在这里有任何误解？有没有办法纠正这个问题？

- Ébe Isaac

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我确实这样做了，@talonmies。norm.pdf本身用于标准化随机变量，因此它计算exp(-x**2/2)/sqrt(2*pi)。为了将mu和sigma引入关系中，分别引入了loc和scale。指定这些意味着用(x-loc)/scale替换x，并将最终结果除以scale，从而形成上述所述的高斯PDF。 - Ébe Isaac

Answer 1

这不是一个错误，也不是一个错误的结果。概率密度函数在某个特定点的值并不能给你概率；它是测量分布在该值周围的密度的一种指标。对于连续型随机变量，在给定点上的概率为零。我们计算的不是p(X = x)，而是p(x1 < X < x2)之间的概率，它等于该概率密度函数下面的面积。概率密度函数的值可以很好地超过1。甚至可能趋近于无穷大。

- ayhan

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概括翻译：概率密度函数在一个区间上的积分等于1，但是概率密度函数本身可能高于1、低于1或为0，当然不能为负数。 详细翻译：概率密度函数在一个特定的区间上的积分结果等于1。但是，概率密度函数本身可能会超过1或低于1，也有可能是0，但是它不能为负数。 - Severin Pappadeux

一般来说，我认为大多数初级（大学水平）概率与统计教材没有讨论这些问题，如果没有接触实分析、测度和黎曼求和，很难发展出直觉。我发现这篇文章是一个简单易懂的入门介绍：http://www.statsathome.com/2017/06/26/measure-theory-made-ridiculously-simple/ - AruniRC

Answer 2

这是一个密度函数，而不是质量函数

如果方差小于1 /（2 * pi），高斯函数将超过1.0

超过1仅对质量函数有限制，而对密度函数没有限制

- william_grisaitis

Answer 3

概率密度是累积概率的变化速率。因此，当累积概率迅速增加时，密度可以轻松超过1。但是，如果我们计算密度函数下的面积，它永远不会超过1。这样的区域也被称为概率质量。

以您的示例为例：

from statistics import mean, stdev        
import numpy as np


x, dx = np.linspace(0.3, 1.75, 1000, retstep=True)
mean_1, sigma_1 = mean(x), stdev(x)
f = np.exp(-((x-mean_1)/sigma_1)**2/2) / sigma_1 / np.sqrt(2 * np.pi)
print(np.sum(f)*dx)

输出结果为0.916581457225367

感谢Richard McElreath在他的书《统计重新思考》中提供的帮助。

- Gabriel Ristow Cidral