Scipy - 从自定义概率密度函数进行反向采样方法

Question

我正在尝试从自定义概率密度函数(PDF)进行反向采样。我想知道这是否可能，即对PDF进行积分，反转结果，然后为给定的均匀数解决它。PDF的形状为f(x,alpha,mean(x))=(1/Gamma(alpha+1)(x))((x*(alpha+1)/mean(x))^(alpha+1))exp(-(alpha+1)*(x/mean(x))),其中x>0。从形状来看，只有小于150的值是相关的，对于我正在尝试做的事情，小于80的值已经足够了。不过扩展范围应该不难。

我试图使用反转方法，但是只找到了一种数值方法来计算积分，考虑到我需要反转函数来解决问题，这并不一定有帮助： u=integral(f(x,alpha,mean(x))dx)从0到y，其中y未知，u是0到1之间的均匀随机变量。

积分中有伽玛函数和不完全伽玛函数，因此尝试反转它有点麻烦。任何帮助都欢迎。

提前致谢。

祝好。

- madtowneast

---

你的PDF的定义域是什么？除非你以某种方式限制定义域，否则你所拥有的函数是不可归一化的。 - David Z

抱歉，完整的PDF是： (1/Gamma(alpha+1)(x))((x*(alpha+1)/mean(x))^(alpha+1))exp(-(alpha+1)*(x/mean(x)) 域为0到无穷大。 - madtowneast

你的mean(x)只是一个参数mean_x吗？鉴于x只是评估pdf的点，x的平均值就是x本身。 - Josef

这是一个需要假设的参数，因此mean(x) != x。 - madtowneast

你能用明确的形式写出你的PDF吗？例如，作为Python表达式？我的印象是，在标准化之后，PDF看起来就像一个标准的Gamma分布，这在numpy.random和scipy.stats中都有。 - Josef

Answer 1

假设您的意思是要随机选择值，这些值将根据您的概率密度函数分布，那么是可能的。这在维基百科上被描述为 反转换采样。基本上，这就是你所说的：积分PDF以产生累积分布（CDF），反演它（可以提前完成），然后选择一个随机数并通过反演的CDF运行它。

如果您的域是0到正无穷大，则您的分布似乎与 gamma分布 相匹配，该分布内置于Numpy和Scipy中，其中 theta = 1/alpha 和 k = alpha+1。

- David Z

---

我该如何事先反转它？我在进行反转时遇到了麻烦，因为积分给出了一个不完整的伽玛函数。 - madtowneast

你其实不需要自己进行反演，因为你可以直接使用Numpy的伽马分布来获取符合你所需概率密度函数的值。但如果你确实需要进行反演，我建议使用查找表和点之间的线性插值。 - David Z

我的主要问题是我只需要查找0到150左右的值，因此我在技术上不需要从0到无穷大进行积分。我只是无法通过不完整伽玛函数。我知道我可以进行数值积分，但不确定是否可以从中进行采样。 - madtowneast

我认为你可能需要编辑你的问题，更详细地说明你正在尝试什么。 - David Z