理解NumPy的卷积操作

Question

在计算简单移动平均值时，使用numpy.convolve似乎可以完成任务。

问题：当您使用np.convolve(values, weights, 'valid')时，计算是如何进行的？

当文档中提到卷积乘积仅在信号完全重叠的点处给出时，这两个信号是指什么？

如果任何解释都包括示例和插图，则会非常有用。

window = 10
weights = np.repeat(1.0, window)/window
smas = np.convolve(values, weights, 'valid')

- Nyxynyx

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NumPy手册中的numpy.convolve以及底部的参考文献很好地解释了卷积和这个特定实现。 - rickhg12hs

Answer 1

卷积是一种在信号处理中主要使用的数学运算符。Numpy只是使用这个信号处理术语来定义它，因此有"signal"的引用。在numpy中，数组就是一个信号。两个信号的卷积被定义为第一个信号的积分反转，扫过（"卷积到"）第二个信号并在重叠向量的每个位置上乘以标量积。当第一个信号是2-D矩阵时，通常称之为核心，特别是在图像处理或神经网络中，而反转则成为2-D镜像（不是转置）。可以使用维基百科上的动画更清楚地理解。

Convolutions的定义因上下文而异。有些在重叠开始时开始卷积，而有些则仅在重叠部分开始。在numpy的“valid”模式中，指定重叠始终是完整的。它称为“valid”，因为结果中给出的每个值都是不需要数据外推的。

例如，如果您的数组X长度为2，数组Y长度为4，则在“valid”模式下将X卷积到Y会给您一个长度为3的数组。

第一步，对于X = [4 3]和Y = [1 1 5 5]:

[3 4]                   (X is reversed from [4 3] to [3 4], see note)
[1 1 5 5]
= 3 * 1 + 4 * 1 = 7

注意：如果X没有被反转，这个操作将被称为互相关而不是卷积。

第二步：

  [3 4]
[1 1 5 5]
= 3 * 1 + 4 * 5 = 23

第三步：

    [3 4]
[1 1 5 5]
= 3 * 5 + 4 * 5 = 35

对于模式“valid”的卷积结果将是[7 23 35]。

如果重叠被指定为一个单独的数据点（就像在模式“full”中的情况），则结果将给出长度为5的数组。第一步是：

[3 4]
  [1 1 5 5]
= 3 * undefined (extrapolated as 0) + 4 * 1 = 4

等等。还有更多的外推模式存在。

- Soravux

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为了澄清一下：在所解释的卷积中，向量[2 3]被镜像为[3 2]。这是正确的。如果该向量没有被镜像，那么该操作将被称为交叉相关。这是由于卷积的数学定义所决定的。 - Soravux

卷积中的同一模式怎么样？ - Heberto Mayorquin

@RamonMartinez 这种模式在numpy文档中有详细描述。基本上，它的运行方式与此处所解释的“full”模式相同，但结果将被截断（左右两端一样），以使其长度等于最长的输入信号长度。 - Soravux

不确定为什么这个答案还没有被接受为正确答案。 - godimedia

例子中的第一个参数是 [4,3] 而不是 [3,4]，根据数学定义，卷积会反转第一个参数。 - Soravux

Answer 2

值得注意的是，卷积核在索引数组时是“居中”的，也就是说， 与数组中心元素相关的索引会被采用。换句话说，对于从0开始索引的数组（如Python中），函数B = np.convolve(A,K)计算的结果为： 其中m = (len(K) - 1)//2 （整数除法），这是一个整数，即使len(K)为偶数时也一样。

该总和名义上涵盖了所有值i从-∞到∞，超出范围的A值假定为零。 卷积核的值也是同样处理。对于np.convolution2D，您可以使用mode、boundary和fillvalue选项指定如何处理超出范围的A值。

因此，例如，如果 K = np.array([1, 2, 3])或K = np.array([1, 2, 3, 0, 0])，则np.convolve(A, K)将得到不同的答案。

- Richard Hartley