scipy.linalg.eig是否提供正确的左特征向量？

Question

scipy.linalg.eig是否提供正确的左特征向量？

numpyscipyeigenvector

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我有一个问题，关于scipy.linalg.eig如何计算左右特征向量。也许我误解了一切，但事情似乎对我来说不太对...

从一开始。为了获得特征值和两个特征向量，我使用了以下方法：

ev，left_v，right_v = scipy.linalg.eig（A，left = True）

根据手册，在调用函数时设置left=True后，我应该期望得到左特征向量作为left_v的列，其中第i列是第i个特征值的左特征向量。然而，结果并不是我预期的，所以我进行了简单的检查。

我两次调用该函数来计算右特征向量和左特征向量（详情请见这里）：

right_ev, right_v_2 = scipy.linalg.eig(A)
left_ev, left_v_2 = scipy.linalg.eig(A.T)

left_v_2的列是与left_ev中相应值相关联的特征向量。需要强调的是，right_ev_2和left_ev_2都给出了相同的特征值，但它们的顺序不同，这需要加以考虑。

将left_ev和left_ev_2（根据特征值重新排序后）进行比较，可以快速发现前者是后者的共轭，因此使用scipy.linalg.eig和left=True得到的left_ev不是有效的左特征向量。

还可以基于以下事实对特征向量的有效性进行检查：对于任意实方阵，左右特征向量是双正交的，即：

left_v.T.dot(right_v)应该给出一个对角矩阵，但它没有，直到我将其更改为：left_v.T.conj().dot(right_v),

而:

left_v_2.T.dot(right_v_2)给出了预期的对角矩阵。

有人遇到过类似的问题吗？我的说法正确吗？SciPy手册在描述eig时是否有些不准确？你能给出任何建议吗？

非常感谢！

- MKK_

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- Warren Weckesser · Accepted Answer

关于 vl，eig 的文档字符串如下所示：

a.H vl[:,i] = w[i].conj() b.H vl[:,i]

或者，对两边取共轭转置（即厄米共轭转置）（这就是 .H 的意思），并假设 b 是单位矩阵。

vl[:,i].H a = w[i] vl[:,i].H

因此，vl的共轭转置的行是a的实际左特征向量。

Numpy数组实际上没有.H属性，所以必须使用.conj().T。

这是一个验证计算的脚本：

import numpy as np
from scipy.linalg import eig

# This only affects the printed output.
np.set_printoptions(precision=4)

a = np.array([[6, 2],
              [-1, 4]])

w, vl, vr = eig(a, left=True)

print "eigenvalues:", w
print

# check the left eigenvectors one-by-one:
for k in range(a.shape[0]):
    val = w[k]
    # Use a slice to maintain shape; vec is a 2x1 array.
    # That allows a meaningful transpose using .T.
    vec = vl[:, k:k+1]
    # rowvec is 1x2; it is the conjugate transpose of vec.
    # This should be the left eigenvector.
    rowvec = vec.conj().T
    # Verify that rowvec is a left eigenvector
    lhs = rowvec.dot(a)
    rhs = val * rowvec
    print "Compare", lhs, "to", rhs
    print rowvec, "is",
    if not np.allclose(lhs, rhs):
        print "*NOT*",
    print "a left eigenvector for eigenvalue", val

print
print "Matrix version:"
print "This"
print vl.conj().T.dot(a)
print "should equal this"
print np.diag(w).dot(vl.conj().T)

输出：

eigenvalues: [ 5.+1.j  5.-1.j]

Compare [[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]] to [[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]]
[[ 0.4082+0.4082j  0.8165-0.j    ]] is a left eigenvector for eigenvalue (5+1j)
Compare [[ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]] to [[ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]
[[ 0.4082-0.4082j  0.8165+0.j    ]] is a left eigenvector for eigenvalue (5-1j)

Matrix version:
This
[[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]
 [ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]
should equal this
[[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]
 [ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]

现在，eig的文档字符串还在返回值的描述中提到：

vl : double or complex ndarray
    The normalized left eigenvector corresponding to the eigenvalue
    ``w[i]`` is the column v[:,i]. Only returned if ``left=True``.
    Of shape ``(M, M)``.

这可能会引起误解，因为传统的左特征向量定义（例如http://mathworld.wolfram.com/LeftEigenvector.html或http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors#Left_and_right_eigenvectors）是一个行向量，因此它是vl的列的共轭转置，实际上是左特征向量。