Scipy中的左特征向量不能给出正确的（马尔可夫）稳态概率

Question

给定以下马尔可夫矩阵：

import numpy, scipy.linalg
A = numpy.array([[0.9, 0.1],[0.15, 0.85]])

固定概率存在且等于[.6, .4]。通过对矩阵进行大幂次运算可以轻松验证此结果。

B = A.copy()
for _ in xrange(10): B = numpy.dot(B,B)

这里 B[0] = [0.6, 0.4]。到目前为止还不错。根据wikipedia的说法：

静态概率向量被定义为一个向量，在转移矩阵的应用下不会改变；也就是说，它被定义为概率矩阵的左特征向量，与特征值1相关：

所以我应该能够计算具有特征值1的A的左特征向量，这也应该给我静态概率。 Scipy的实现eig有一个左关键字：

scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)

给出：

(array([ 1.00+0.j,  0.75+0.j]), array([[ 0.83205029, -0.70710678],
   [ 0.5547002 ,  0.70710678]]))

这里说的主左特征向量是：[0.83205029, 0.5547002]。我有没有读错？如何使用特征值分解得到[0.6, 0.4]？

- Hooked

Answer 1

[0.83205029, 0.5547002]只是[0.6, 0.4]乘以约1.39得到的。

虽然从“物理”角度来看，需要特征向量其组成部分之和等于1，但通过某个因子缩放特征向量不会改变其“特征性”：

如果，那么显然。

因此，要得到[0.6, 0.4]，您应该执行：

>>> v = scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)[1][:,0]
>>> v
array([ 0.83205029,  0.5547002 ])
>>> v / sum(v)
array([ 0.6,  0.4])

- aland

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当然。R(ing)TFM显示eig返回归一化的向量。在我的脑海中，我期望得到一个归一化的概率分布（L1范数），而scipy给出了更明显的平方和的平方根（L2范数）。回想起来，我应该注意到两个组件的比率在两种情况下是相同的。谢谢！ - Hooked

Answer 2

eig函数就是计算特征向量，返回的结果是关于特征向量的单位向量。

所以，如果我们取v = [0.6, 0.4]，它的长度可以表示为： l = np.sqrt(np.square(a).sum()) 或者 l = np.linalg.norm(v)，因此，从scipy.linalg.eig函数返回的标准化向量就是：

>>> v = np.array([.6, .4])
>>> l = np.sqrt(np.square(a).sum())
>>> v / l
array([0.83205029, 0.5547002 ])

因此，如果您需要向量成为马尔可夫链中的随机向量或概率向量，只需将其缩放，使其总和为1.0即可。

- minggli