在Numpy中解决广义特征值问题

Question

我希望解决的问题是这样的：Aw = xBw，其中x是一个标量（特征值），w是一个特征向量，A和B是对称、方正的numpy矩阵，维度相等。如果A和B是d x d，那么我应该能够找到d个x/w对。我应该如何在numpy中解决这个问题？我在Scipy文档中查找并没有找到我想要的内容。

- Andrew Latham

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请查看https://dev59.com/JmnWa4cB1Zd3GeqPwg-Z中的广义特征向量。 - emesday

这正是我想做的，但是用 Python。 - Andrew Latham

Answer 1

对于实对称或复共轭的密集矩阵，您可以使用scipy.linalg.eigh()来解决广义特征值问题。通过使用subset_by_index，您可以指定仅要提取所需的特征值：

from scipy.linalg import eigh

eigvals, eigvecs = eigh(A, B, eigvals_only=False, subset_by_index=[0, 1, 2])

你可以使用 eigvals_only=True 来仅获得特征值。

- Saullo G. P. Castro

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感谢您澄清这个问题！一开始看这个函数文档中的例子非常不清晰。 - Andrew Latham

这对我的目的来说很令人放心，@Saullo，但我遇到了问题。据我估算，eigh是eig的一种专业化。然而，如果我使用相同的输入使用eigh和eig，我会得到完全不同的答案。是否有其他区别？ - Mike Sadler

@MikeSadler，你是使用对称矩阵作为输入吗？ - Saullo G. P. Castro

@SaulloG.P.Castro，我在我的测试用例中检查它们，发现它们都是对称的和正定的。我现在已经绕过了这个问题，但是eig和eigh返回的结果顺序可能不同吗？ - Mike Sadler

@MikeSadler 确实。 根据文档，numpy.linalg.eigh返回“按升序排列的特征值，每个特征值重复出现其重数次。” numpy.linalg.eig没有预定义的特征值顺序。 - EA304GT

Answer 2

你看过scipy.linalg.eig吗？根据文档：

解决一个正常或广义的方阵特征值问题。

这个方法有可选参数b：

scipy.linalg.eig(a, b=None, ...

b : (M, M) array_like, optional
Right-hand side matrix in a generalized eigenvalue problem. 
          Default is None, identity matrix is assumed.

- RomanHotsiy

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OP中的问题是Aw = xBw。 - emesday

那么，问题是什么？scipy.linalg.eig(a, b=None,...: 参数 b：广义特征值问题中的右手边矩阵。默认值为None，假定为单位矩阵。 - RomanHotsiy