SciPy广义特征值：eig和eigh会产生不同的结果

Question

使用scipy，我想计算广义特征值问题（请参阅此链接）。

在我的情况下，矩阵A是对称的和实数的，尽管不是正定的（据我所知它不需要是）。矩阵B是实数、对称和正定的。因此，scipy算法eig和eigh都应该起作用，并且我期望它们产生相同的结果。

但事实并非如此。 要重现，请考虑这些试验矩阵：

A = [[-0.19031723,-0.40125581],[-0.40125581,-0.19031723]]
B = [[1.0,0.38703254],[0.38703254,1.0]]

>>> scipy.linalg.eig(A,B)
# Eigenvalues:
[-0.42650264+0.j,  0.34412688+0.j]
# Eigenvectors:
[[-0.70710678, -0.70710678],[-0.70710678,  0.70710678]]

>>> scipy.linalg.eigh(A,B)
# Eigenvalues:
[-0.42650264,  0.34412688]
# Eigenvectors:
[[-0.60040137,  0.90316332],[-0.60040137, -0.90316332]]

这不仅在我的电脑上发生了，而且在不同的机器上也可以重现。

我很困惑，为什么两个算法中的特征向量不相同？我需要担心吗？

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可复制的代码（例如在https://www.katacoda.com/courses/python/playground）：

import scipy.linalg as la
A = [[-0.19031723,-0.40125581],[-0.40125581,-0.19031723]]
B = [[1.0,0.38703254],[0.38703254,1.0]]

print("Result of scipy.linalg.eig(A,B)")
print(la.eig(A,B))
print("------------------")
print("Result of scipy.linalg.eigh(A,B)")
print(la.eigh(A,B))

- mrnicegyu11

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我将此关闭并链接到与“为什么来自不同来源的特征向量不一致？”有关的问题，因为我的回答是完全相同的。两个不同实现的函数使用相同的归一化并不保证，这就是发生这种情况的原因。 - DSM

只有特征值和特征向量的方向（反射也可以）才是重要的。所以你得到的结果与其他人提到的结果相同。 - anishtain4

Answer 1

eigh仅适用于对称矩阵，因此使用更快（且不同）的算法。这就是为什么它会产生不同的结果。对于任何给定的特征值，存在无限数量的特征向量，因此我认为您不需要担心。

我从未使用过这些方法，只是根据我的线性代数知识和在网上找到的关于eigh和eig的信息进行判断，请纠正我如果我错了。

- Jacob Rodal