Matlab矩阵操作速度

Question

我被要求使一些MATLAB代码运行更快，并遇到了一些看起来很奇怪的问题。

在其中一个函数中，有一个循环，在这个循环中我们将一个3x1向量(称为x)、一个3x3矩阵(称为A)和向量x的转置相乘，得到一个标量。 代码使用整组元素逐一相乘和相加，非常繁琐:

val = x(1)*A(1,1)*x(1) + x(1)*A(1,2)*x(2) + x(1)*A(1,3)*x(3) + ...
      x(2)*A(2,1)*x(1) + x(2)*A(2,2)*x(2) + x(2)*A(2,3)*x(3) + ... 
      x(3)*A(3,1)*x(1) + x(3)*A(3,2)*x(2) + x(3)*A(3,3)*x(3);

我的想法是全部替换为：

val = x*A*x';

让我惊奇的是，它运行得明显更慢（即4-5倍）。难道只是因为向量和矩阵太小，MATLAB的优化不适用吗？

- user888379

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请问您能否在修改前后发布代码？ - higuaro

更快的版本之前：val = x(1)*A(1,1)*x(1) +... x(1)*A(1,2)*x(2) +... x(1)*A(1,3)*x(3) +... x(2)*A(2,1)*x(1) +... x(2)*A(2,2)*x(2) +... x(2)*A(2,3)*x(3) +... x(3)*A(3,1)*x(1) +... x(3)*A(3,2)*x(2) +... x(3)A(3,3)x(3); 与val = xAx'相比，更快的版本。 - user888379

有时候这种展开方程的方式更快，但对于较大的尺寸来说并不可行...此外，您也无法利用优化的BLAS实现进行矩阵乘法（Intel MKL）。 - Amro

还应该将公式修改为 v = x'*A*x，这样可以得到一个标量结果 1x3 * 3x3 * 3x1 = 1x1。需要注意的是，如果 A 是对称矩阵，则这是二次方程的矩阵形式。 - Amro

谢谢 - 这是我的抄录错误，加上对注释编辑器的陌生。 - user888379

顺便提一下，如果你正在优化速度并且拥有并行计算工具箱，请查看gpuArray。 - Will Faithfull

Answer 1

编辑：我改进了测试以提供更准确的时间。我还优化了展开版本，现在比我最初的版本好得多，但是随着大小的增加，矩阵乘法速度仍然更快。

编辑2：为了确保JIT编译器在展开函数上工作，我修改了代码以将生成的函数写为M文件。另外，现在可以通过传递TIMEIT函数句柄来公平地比较两种方法的性能：timeit(@myfunc)

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我不相信你的方法比矩阵乘法更快，对于适当大小的数据。因此我们来比较这两种方法。

我使用符号数学工具箱来获取方程式 x'*A*x 的“展开”形式（手工计算一个20x20的矩阵和一个20x1的向量很费劲！）。

function f = buildUnrolledFunction(N)
    % avoid regenerating files, CCODE below can be really slow!
    fname = sprintf('f%d',N);
    if exist([fname '.m'], 'file')
        f = str2func(fname);
        return
    end

    % construct symbolic vector/matrix of the specified size
    x = sym('x', [N 1]);
    A = sym('A', [N N]);

    % work out the expanded form of the matrix-multiplication
    % and convert it to a string
    s = ccode(expand(x.'*A*x));    % instead of char(.) to avoid x^2

    % a bit of RegExp to fix the notation of the variable names
    % also convert indexing into linear indices: A(3,3) into A(9)
    s = regexprep(regexprep(s, '^.*=\s+', ''), ';$', '');
    s = regexprep(regexprep(s, 'x(\d+)', 'x($1)'), 'A(\d+)_(\d+)', ...
        'A(${ int2str(sub2ind([N N],str2num($1),str2num($2))) })');

    % build an M-function from the string, and write it to file
    fid = fopen([fname '.m'], 'wt');
    fprintf(fid, 'function v = %s(A,x)\nv = %s;\nend\n', fname, s);
    fclose(fid);

    % rehash path and return a function handle
    rehash
    clear(fname)
    f = str2func(fname);
end

我试图通过避免使用指数运算（我们更喜欢 x*x 而不是 x^2）来优化生成的函数。我还将下标转换为线性索引（A(9) 而不是 A(3,3)）。因此，当 n=3 时，我们得到了与您相同的方程：

>> s
s =
A(1)*(x(1)*x(1)) + A(5)*(x(2)*x(2)) + A(9)*(x(3)*x(3)) + 
A(4)*x(1)*x(2) + A(7)*x(1)*x(3) + A(2)*x(1)*x(2) + 
A(8)*x(2)*x(3) + A(3)*x(1)*x(3) + A(6)*x(2)*x(3)

考虑到上述构建M函数的方法，我们现在对不同大小的问题进行评估，并将其与矩阵乘法形式进行比较（我将其放在单独的函数中以考虑函数调用开销）。为了获得更准确的计时，我使用TIMEIT函数而不是tic/toc。此外，为了公平比较，每种方法都作为一个M文件函数实现，并将所有所需变量作为输入参数传递。

function results = testMatrixMultVsUnrolled()
    % vector/matrix size
    N_vec = 2:50;
    results = zeros(numel(N_vec),3);
    for ii = 1:numel(N_vec);
        % some random data
        N = N_vec(ii);
        x = rand(N,1); A = rand(N,N);

        % matrix multiplication
        f = @matMult;
        results(ii,1) = timeit(@() feval(f, A,x));

        % unrolled equation
        f = buildUnrolledFunction(N);
        results(ii,2) = timeit(@() feval(f, A,x));

        % check result
        results(ii,3) = norm(matMult(A,x) - f(A,x));
    end

    % display results
    fprintf('N = %2d: mtimes = %.6f ms, unroll = %.6f ms [error = %g]\n', ...
        [N_vec(:) results(:,1:2)*1e3 results(:,3)]')
    plot(N_vec, results(:,1:2)*1e3, 'LineWidth',2)
    xlabel('size (N)'), ylabel('timing [msec]'), grid on
    legend({'mtimes','unrolled'})
    title('Matrix multiplication: $$x^\mathsf{T}Ax$$', ...
        'Interpreter','latex', 'FontSize',14)
end

function v = matMult(A,x)
    v = x.' * A * x;
end

结果如下：

N =  2: mtimes = 0.008816 ms, unroll = 0.006793 ms [error = 0]
N =  3: mtimes = 0.008957 ms, unroll = 0.007554 ms [error = 0]
N =  4: mtimes = 0.009025 ms, unroll = 0.008261 ms [error = 4.44089e-16]
N =  5: mtimes = 0.009075 ms, unroll = 0.008658 ms [error = 0]
N =  6: mtimes = 0.009003 ms, unroll = 0.008689 ms [error = 8.88178e-16]
N =  7: mtimes = 0.009234 ms, unroll = 0.009087 ms [error = 1.77636e-15]
N =  8: mtimes = 0.008575 ms, unroll = 0.009744 ms [error = 8.88178e-16]
N =  9: mtimes = 0.008601 ms, unroll = 0.011948 ms [error = 0]
N = 10: mtimes = 0.009077 ms, unroll = 0.014052 ms [error = 0]
N = 11: mtimes = 0.009339 ms, unroll = 0.015358 ms [error = 3.55271e-15]
N = 12: mtimes = 0.009271 ms, unroll = 0.018494 ms [error = 3.55271e-15]
N = 13: mtimes = 0.009166 ms, unroll = 0.020238 ms [error = 0]
N = 14: mtimes = 0.009204 ms, unroll = 0.023326 ms [error = 7.10543e-15]
N = 15: mtimes = 0.009396 ms, unroll = 0.024767 ms [error = 3.55271e-15]
N = 16: mtimes = 0.009193 ms, unroll = 0.027294 ms [error = 2.4869e-14]
N = 17: mtimes = 0.009182 ms, unroll = 0.029698 ms [error = 2.13163e-14]
N = 18: mtimes = 0.009330 ms, unroll = 0.033295 ms [error = 7.10543e-15]
N = 19: mtimes = 0.009411 ms, unroll = 0.152308 ms [error = 7.10543e-15]
N = 20: mtimes = 0.009366 ms, unroll = 0.167336 ms [error = 7.10543e-15]
N = 21: mtimes = 0.009335 ms, unroll = 0.183371 ms [error = 0]
N = 22: mtimes = 0.009349 ms, unroll = 0.200859 ms [error = 7.10543e-14]
N = 23: mtimes = 0.009411 ms, unroll = 0.218477 ms [error = 8.52651e-14]
N = 24: mtimes = 0.009307 ms, unroll = 0.235668 ms [error = 4.26326e-14]
N = 25: mtimes = 0.009425 ms, unroll = 0.256491 ms [error = 1.13687e-13]
N = 26: mtimes = 0.009392 ms, unroll = 0.274879 ms [error = 7.10543e-15]
N = 27: mtimes = 0.009515 ms, unroll = 0.296795 ms [error = 2.84217e-14]
N = 28: mtimes = 0.009567 ms, unroll = 0.319032 ms [error = 5.68434e-14]
N = 29: mtimes = 0.009548 ms, unroll = 0.339517 ms [error = 3.12639e-13]
N = 30: mtimes = 0.009617 ms, unroll = 0.361897 ms [error = 1.7053e-13]
N = 31: mtimes = 0.009672 ms, unroll = 0.387270 ms [error = 0]
N = 32: mtimes = 0.009629 ms, unroll = 0.410932 ms [error = 1.42109e-13]
N = 33: mtimes = 0.009605 ms, unroll = 0.434452 ms [error = 1.42109e-13]
N = 34: mtimes = 0.009534 ms, unroll = 0.462961 ms [error = 0]
N = 35: mtimes = 0.009696 ms, unroll = 0.489474 ms [error = 5.68434e-14]
N = 36: mtimes = 0.009691 ms, unroll = 0.512198 ms [error = 8.52651e-14]
N = 37: mtimes = 0.009671 ms, unroll = 0.544485 ms [error = 5.68434e-14]
N = 38: mtimes = 0.009710 ms, unroll = 0.573564 ms [error = 8.52651e-14]
N = 39: mtimes = 0.009946 ms, unroll = 0.604567 ms [error = 3.41061e-13]
N = 40: mtimes = 0.009735 ms, unroll = 0.636640 ms [error = 3.12639e-13]
N = 41: mtimes = 0.009858 ms, unroll = 0.665719 ms [error = 5.40012e-13]
N = 42: mtimes = 0.009876 ms, unroll = 0.697364 ms [error = 0]
N = 43: mtimes = 0.009956 ms, unroll = 0.730506 ms [error = 2.55795e-13]
N = 44: mtimes = 0.009897 ms, unroll = 0.765358 ms [error = 4.26326e-13]
N = 45: mtimes = 0.009991 ms, unroll = 0.800424 ms [error = 0]
N = 46: mtimes = 0.009956 ms, unroll = 0.829717 ms [error = 2.27374e-13]
N = 47: mtimes = 0.010210 ms, unroll = 0.865424 ms [error = 2.84217e-13]
N = 48: mtimes = 0.010022 ms, unroll = 0.907974 ms [error = 3.97904e-13]
N = 49: mtimes = 0.010098 ms, unroll = 0.944536 ms [error = 5.68434e-13]
N = 50: mtimes = 0.010153 ms, unroll = 0.984486 ms [error = 4.54747e-13]

在小尺寸下，这两种方法表现相似。虽然对于 N<7，扩展版击败了 mtimes，但差别几乎不显著。一旦我们超过微小的尺寸，矩阵乘法比扩展版快几个数量级。

这并不令人惊讶；仅有 N=20 时，formula 就变得非常长，并涉及添加 400 项。由于 MATLAB 语言是解释型的，我怀疑这不是很有效率的。

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现在我同意调用外部函数与直接内嵌代码相比存在一定的开销，但这种方法实际有多实用呢？即使是小尺寸如N=20，生成的行也超过7000个字符！我还注意到MATLAB编辑器因为长行而变得迟缓 :)

此外，在大约N>10之后，优势很快消失。我进行了嵌入式代码/显式编写与矩阵乘法的比较，类似于@DennisJaheruddin所建议的。结果：

N=3:
  Elapsed time is 0.062295 seconds.    % unroll
  Elapsed time is 1.117962 seconds.    % mtimes

N=12:
  Elapsed time is 1.024837 seconds.    % unroll
  Elapsed time is 1.126147 seconds.    % mtimes

N=19:
  Elapsed time is 140.915138 seconds.  % unroll
  Elapsed time is 1.305382 seconds.    % mtimes

...对于未展开版本而言，情况只会变得更糟。正如我之前所说，MATLAB是解释性语言，因此在处理如此庞大的文件时，代码解析的成本开始显现。

在我看来，在执行一百万次迭代后，我们最多只能节省1秒钟的时间，我认为这并不能证明所有麻烦和hack的必要性，相比之下，使用更易读且简洁的v=x'*A*x要好得多。因此，也许在代码中有其他地方可以改进，而不是专注于已经优化的操作，例如矩阵乘法。

矩阵乘法在MATLAB中非常 快速（这是MATLAB最擅长的！）。当您处理足够大的数据时（多线程开始运行），它真正发挥出色：

>> N=5000; x=rand(N,1); A=rand(N,N);
>> tic, for i=1e4, v=x.'*A*x; end, toc
Elapsed time is 0.021959 seconds.

- Amro

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也许有一个重要的观点可以解释OP报告的更快时间，这可能不在您的测试范围内：Matlab的JIT是否适用于匿名函数？如果不是太麻烦，您可以尝试将生成的函数保存到m文件中，而不是即时创建一个函数，并查看是否有任何区别。 - Bas Swinckels

@BasSwinckels：完成了，可以看最近的编辑。虽然对于较小的尺寸速度有所提升（您也可以自行测试！），但影响并不大。我只想提醒您，对于 N=2:50 这个范围来说，mtimes 可以轻松处理数千个数据，这只是小菜一碟。我甚至不会尝试为这样的规模编写扩展版本 :) - Amro

Answer 2

@Amro提供了详尽的回答，我同意通常情况下您不需要费心手动计算矩阵，只需在代码中使用矩阵乘法即可。

但是，如果您的矩阵足够小，并且您确实需要进行数十亿次计算，手动计算的形式会更快（减少开销）。然而，关键是不要将代码放在单独的函数中，因为调用开销比计算时间要大得多。

这里是一个简单的示例：

x = 1:3;
A = rand(3);
v=0;

unroll = @(x) A(1)*(x(1)*x(1)) + A(5)*(x(2)*x(2)) + A(9)*(x(3)*x(3)) + A(4)*x(1)*x(2) + A(7)*x(1)*x(3) + A(2)*x(1)*x(2) + A(8)*x(2)*x(3) + A(3)*x(1)*x(3) + A(6)*x(2)*x(3); 
regular = @(x) x*A*x'; 

%Written out, no function call
tic
for t = 1:1e6
  v = A(1)*(x(1)*x(1)) + A(5)*(x(2)*x(2)) + A(9)*(x(3)*x(3)) + A(4)*x(1)*x(2) + A(7)*x(1)*x(3) + A(2)*x(1)*x(2) + A(8)*x(2)*x(3) + A(3)*x(1)*x(3) + A(6)*x(2)*x(3);;
end
t1=toc;

%Matrix form, no function call
tic
for t = 1:1e6
  v = x*A*x';
end
t2=toc;

%Written out, function call
tic
for t = 1:1e6
  v = unroll(x);
end
t3=toc;

%Matrix form, function call
tic
for t = 1:1e6
  v = regular(x); 
end
t4=toc;

[t1;t2;t3;t4]

这将会产生以下结果：

0.0767
1.6988

6.1975
7.9353

所以，如果你通过一个（匿名）函数来调用它，使用完整形式并不重要，但是如果你真的想获得最佳速度，直接使用完整形式可使小矩阵加速很多。

- Dennis Jaheruddin

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我仍然看不到优势。即使进行了1百万次这样的矩阵乘法迭代，我们也几乎没有看到1秒的改进。从大局来看，这并不是一个很大的改进，我更愿意保持直接实现，特别是对于更大的尺寸而言 :) - Amro

关于函数调用开销的观察非常到位。我和同事进行了一项实验，比较了：（a）内联书写形式，（b）x'Ax，以及（c）书写形式的函数调用版本。结果显示，b是c的两倍快。 - user888379