如何在Python中找到学生t分布的幂律参数？

Question

我有一份包含3994个每日对数收益率的列表ptf，并且从图形上发现这些数据的良好拟合可能是一个学生 t 分布。 使用Python中的Scipy，我获得了参数 (tdf, mu_t, sigma_t) = stats.t.fit(ptf) 特别地，自由度tdf为3.36。 我想研究尾部行为，并且我知道学生 t 分布是幂律分布。然后，在对数-对数图中进行了图形检查：

是的，我能看到幂律分布，因为在某一点上存在线性关系。现在，我知道幂律分布取决于一个参数alpha，直观地说，它是log-log图中图形的斜率。我的问题是：在学生t分布的情况下，如何找到幂律的alpha值？这个值是否巧合恰好等于学生t分布的自由度？

我查看了powerlaw包，但是我无法弄清楚如何操作。我尝试了这个：

results = powerlaw.Fit(ptf)
print(results.alpha)
print(results.power_law.xmin)

我得到的alpha是4.23。这是我正在寻找的alpha吗？它与学生t分布的自由度有什么关系？

- Puzzle

Answer 1

α将是您的自由度+1，因此在您的情况下为4.36。

具有n个自由度的学生t分布的密度函数为

f(x) ~ (1 + x^2 / n)^{-(n+1)/2}

在尾部（对于大绝对值的x），这与

x^{-(n+1)}

渐近成比例，因此幂律中的指数（即α）为n+1。

- Frederik Kaster

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让我来澄清一下。我的 $\alpha$ 是这样的：$f_X(x) \propto \frac{1}{|x|^{\alpha + 1}}$。在这种情况下，你是说我的自由度 tdf= 3.36 就是我的 $\alpha$ 吗？ - Puzzle

如果您使用了本文所述的powerlaw软件包：http://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0085777它假设$f_X(x) \propto \frac{1}{x^{\alpha}}$ - 这是我使用的alpha的定义：因此它将是4.36，类似于您得到的值。在您的定义中，它将是3.36，对吗？如果您主要感兴趣的是尾部行为，直接拟合幂律分布可能比通过学生-t更好？ - Frederik Kaster

是的，你可能是对的，而且我也读了那篇论文。但我对幂律分布还很陌生，所以我正在尝试弄清楚我已经了解的内容，例如学生-t分布。谢谢你的回答。 - Puzzle