在三维空间中连接N个点，创建平滑的连续线

Question

我在3维空间中有N个点。我需要用一条线将它们连接起来。然而，如果我使用简单的直线，那么它看起来不够平滑，也不美观。

我的当前方法是使用Bezier曲线，使用DeCasteljau算法处理4个点，并对数据集中每组4个点运行该算法。但是，这种方法的问题在于，由于我分别运行它（例如点1-4、5-8、9-12等），因此在4-5、8-9等之间的连线不够平滑。

我还寻找其他方法；具体地说，我发现了关于Catmull-Rom样条的 这篇文章 ，它似乎更适合我的目的，因为该曲线通过所有控制点，而不像Bezier曲线。因此，我几乎要开始实施它了，但后来我在该网站上看到，该公式假设控制点均匀分布。而我的问题并非如此。

所以，我的问题是，我应该使用什么方法——Bezier、Catmull-Rom，还是完全不同的方法？如果使用Bezier，则如何解决4-5、8-9等之间的不平滑问题？如果使用Catmull-Rom，则为什么该公式不能用于非均匀间距的控制点，我需要什么替代方法？

编辑：我现在非常确定我想要Catmull-Rom样条，因为它通过每个控制点，这对我的应用程序是一个优势。因此，我想回答的主要问题是，为什么我提供的链接上的公式不能用于非均匀间距的控制点？

谢谢。

- houbysoft

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你的线的目的是什么？你只是想要一条看起来舒服的线，还是想要更具量化意义的东西。例如，假设您希望通过数据点找到最可能的曲线，假设有高斯噪声？ - Tom

@Tom：基本上我从物理模拟中获取点，线条的平滑只是为了展示最终结果，所以我想这只是为了让人看起来舒服 :) - houbysoft

@houbysoft 如果是这样，你为什么想要自己编写绘图器呢？为什么不只输出数据并在 gnuplot 中绘制呢？ - Tom

@Tom：最终结果将在一个特殊的3D房间中展示，由多台计算机操作，需要一个特定的应用程序来完成工作。此外，我还需要为绘图仪添加一些交互功能，比如与头部跟踪设备进行通信等。关键是，这个应用程序非常特定，不仅仅是显示线条，因此gnuplot无法胜任。 - houbysoft

你想让线路在穿过每个点的同时保持平滑，还是只是简单地穿过这些点而不必经过每一个点？如果是后者，请搜索“多维回归分析”。 - Tamer Shlash

@Mr.TAMER：只需通过每个点并保持顺畅。 - houbysoft

Answer 1

有几个解决方案：

• 使用B样条曲线。这是贝塞尔曲线的一般化（贝塞尔曲线是没有内部结点的B样条曲线）。

• 使用三次样条曲线。三次样条曲线特别容易计算。三次样条曲线在控制点处的零、一、二阶导数连续。第三阶导数，即三次项，在控制点处出现不连续，但很难看到这些不连续性。

B样条曲线和三次样条曲线之间的一个关键区别是，三次样条曲线将通过所有控制点，而B样条曲线则不会。一种思考方式是：那些内部控制点只是B样条曲线的建议，但对于三次样条曲线来说是必须的。

- David Hammen

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补充一下，三次样条曲线并不需要像OP所说的那样控制点间距是均匀的。你只需要一个好的参数化方法（如果可以的话，使用弧长参数化）来确保插值点的均匀分布。特别是要注意Cardinal样条曲线（其中Catmull-Rom是一个子类），它们具有可调节的曲率（张力），是一个非常适合图形学的小型三次样条曲线。 - Ron Warholic

@Ron Warholic：啊，所以基本上如果我使用非均匀间距点的公式，唯一的问题就是如果我总是为每对数据点绘制10个新曲线点，有时这些新点将不会均匀分布，对吗？ - houbysoft

基本上，如果你根据控制点之间的弧长参数化插值，你将得到几乎完美间隔的点 - 不过这可能会更难实现。 - Ron Warholic

Answer 2

通过高斯过程，可以找到一条有意义的线（虽然不是最简单的评估方法）。您可以设置（或推断）希望该线变化的长度尺度（即线的平滑度），然后给定长度尺度，GP线是通过数据的最可能线。如果您不介意该线不通过数据点，则可以向模型添加噪声。

这是一种很好的插值方法，因为您还可以获得线的标准差。当您在附近没有太多数据时，该线变得更加不确定。

您可以在David MacKay的《信息论、推理和学习算法》第45章中阅读有关它们的内容，您可以从作者的网站here下载该书。

- Tom

Answer 3

一个解决方案是查看维基百科上的以下页面：http://en.wikipedia.org/wiki/Bézier_curve，检查N个控制点的广义方法。

- tp1