在三维空间中，n个顶点的三角网格最多有多少个面？

Question

在二维中，一个“完美”（不重叠）网格中n个顶点的最大面数为f=2n-4。在三维中是否有等效的结果？

- Kafros

Answer 1

欧拉特征 chi 的定义如下：

chi = V - E + F

其中V、E和F分别代表顶点数、边数和面数。

对于封闭的三角形网格，我们知道每条边有两个相邻面，每个面有三条相邻边。因此：

3 * F = 2 * E
E = 3/2 * F

因此，

chi = V - 3/2 * F + F
    = V - 1/2 F
  F = 2 * (V - chi)

在平面图的二维情况下，欧拉数chi等于2，因此您的定义为F = 2 * V - 4。

对于任何三维表面，欧拉数可以从其亏格计算得出。通常来说，表面上有更多把手，它的欧拉数就越小。因此，chi（以及F）没有限制。但是，对于固定的表面拓扑结构，面数（相对于顶点数）是固定的。

- Nico Schertler

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在3D闭合三角网格中，Chi是否有界限？ - Kafros

欧拉特征也可以从前三个贝蒂数计算得出：chi = b0 - b1 + b2。b0是连通组件的数量（对于单个网格固定为1）。b1是1D孔的数量（因此不受限制），而b2是2D孔的数量（同样不受限制）。因此，chi没有理论上的界限。 - Nico Schertler