Matlab如何对广义特征向量进行归一化？

Question

我知道通过eig(A)产生的特征向量具有2-范数1。但是，在广义特征值问题eig(A,B)中生成的向量呢？一个自然的猜想是这样的向量v应该满足v'Bv=1。当B是单位矩阵时，那么v'Bv正好是2-范数的平方。我对各种矩阵A和B运行了以下测试：

[p,d]=eig(A,B);
v=p(:,1);
v'*B*v

我总是选择B作为对角线。我注意到v'Bv并不总是等于1。然而，当A是对称矩阵时，确实等于1。有人知道Matlab如何规范化广义特征向量的规则吗？我在文档中找不到。

- Tony B

Answer 1

根据文档（我强调）：

V的形式和规范取决于输入参数的组合： - [......] - eig(A,B)和eig(A,B,algorithm)返回矩阵V作为广义右特征向量的矩阵，满足A*V = B*V*D。每个特征向量的2-范数不一定为1。在这种情况下，D包含对(A,B)成对的广义特征值，沿着主对角线。 当eig使用'chol'算法与对称(Hermitian)A和对称(Hermitian)正定B时，它会使V中的特征向量标准化，使每个特征向量的B-范数为1。

这意味着，除非您使用“chol”算法，否则V未被归一化。

- Cris Luengo

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它还说：“当您省略算法参数时，eig函数会根据A和B的属性选择算法。对于对称（Hermitian）的A和对称（Hermitian）正定的B，它使用'chol'算法。” 这解释了当A和B是对称的时，向量确实是B归一化的。 - Tony B

Answer 2

如果我理解正确，您正在寻找一种泛化向量的方法，然后给定一个向量，可以将其除以它的范数以获得一个次要向量，其范数为1。

如果您正在寻找数学背景，则矩阵的特征值分解提供了良好的介绍。

- Mostafa Ayaz