MATLAB中的广义特征向量？

Question

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在某些特定情况下，当特征值重复时，有没有一种方法可以使用较少的命令来获得广义特征向量？如果每个特征值的重复次数为1，则可以使用[V,D] = eig(A)命令，但是对于多个特征值，该命令无效。

- slezadav

1个回答

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- bla · Accepted Answer

根据Matlab文档，[V,D] = eig(A,B)生成一个广义特征值的对角矩阵D和一个完整矩阵V，其列为相应的特征向量，使得A*V = B*V*D。

以下是如何自行操作的示例...首先输入一个样例矩阵A:

 A = [ 35  -12   4   30 ;
       22   -8   3   19 ;
      -10    3   0   -9 ;
      -27    9  -3  -23 ];

然后我们将探讨它的特征多项式、特征值和特征向量。

 poly(A) 
 ans = 
     1.0000   -4.0000    6.0000   -4.0000    1.0000

这些是特征多项式的系数，因此它为(λ-1)^4。

 [V, D] = eigensys(A) 
 V = 
 [ 1, 0] 
 [ 0, 1] 
 [-1, 3] 
 [-1, 0] 


 D = 
 [1] 
 [1] 
 [1] 
 [1]

因此，MATLAB仅找到了两个独立的特征向量。

 w1 = [1  0  -1  -1]';     
 w2 = [0  1   3   0]';

与单重性数为4的特征值λ=1相关联，因此具有缺陷2。
因此我们设置了4x4单位矩阵和矩阵B=A-λI。

  Id = eye(4);        
  B = A - L*Id;

当 L=1 时，我们计算 B^2 和 B^3。

  B2 = B*B      
  B3 = B2*B

我们发现B2 ≠ 0，但B3 = 0，因此应该与特征值λ = 1相关联的长度为3的链。选择第一广义特征向量。

 u1 = [1  0  0  0]';

我们计算进一步的广义特征向量。

并且。

因此，我们基于（普通的）特征向量u3找到了长度为3的链{u3，u2，u1}。（为了将这个结果与MATLAB的eigensys计算结果协调一致，您可以检查u3-42w1=7w2）