MATLAB中对称矩阵的复特征向量

Question

我在使用MATLAB eig函数计算对称矩阵的特征值和特征向量时遇到了问题。矩阵D如下：
10x10
所有对角元素=0.45
所有非对角线元素=-0.05
当使用[vec,val] = eig（D）时，一些结果的特征向量包含复数（即0.3384 + 0.0052i）。我在网上搜索到两篇相关帖子，但没有帮助我找到解决方案。

因此，我尝试在Python numpy中使用相同的子程序（numpy.linalg.eigh（D））��并得到了所有实际的特征值和特征向量。 Python的结果是正确的，因为我能够通过已发布的论文验证我的最终结果。

我的问题是什么导致MATLAB为对称矩阵提供复数特征值和特征向量？是否有避免这种情况的方法？我肯定可以在Python中重写算法，但我宁愿避免这样做。

注：如果我尝试一个所有对角元素均为0.375且所有非对角线元素均为-0.125的4x4矩阵，则MATLAB eig（D）会给出所有实数特征值和特征向量。

感谢您提前对此问题的任何建议。

跟进。用于生成D和特征值/向量的代码：

    P = eye(10) - 1/10;
    delta = 1 - eye(10);
    A = -0.5 * delta;

    D = P*A*P;
    [vec val] =eig(D)

- user2471801

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也许这可以帮助？http://www.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/view_thread/309237 - arturomp

@amp 谢谢，我之前看过这篇帖子，但没有解决我的问题。事实上，在那篇帖子中执行的示例并没有给我复杂特征向量。 - user2471801

那么你是说对于你上面的代码，isreal(vec) 返回 0？ 这确实是你得到复数值时使用的代码吗？虚部有多大？它们几乎为零吗？ 你使用的 Matlab 版本是什么（在命令窗口中键入 version）？ - horchler

@horchler 正确，isreal(vec)返回0，上面的代码就是我使用的精确代码。特征向量中最大的虚部是+0.0052i，MATLAB版本为7.13.0.564（R2011b）。我在下面回复了A. Donda，说我的台式机不支持复数，但我的笔记本电脑支持。我不明白为什么（操作系统相同，MATLAB版本相同）。 - user2471801

您可以使用函数cdf2rdf，将复杂矩阵转换为实数模拟，而不会失去任何精度。http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/cdf2rdf.html - Ilya Cherevkov

Answer 1

我使用单精度解决了这个问题。

  P = eye(10) - 1/10;
  delta = 1 - eye(10);
  A = -0.5 * delta;

  D = P*A*P;
  D = single(D)
  [vec val] =eig(D)

现在的结果是正确的。感谢您抽出时间回答我的问题，感谢您提供的所有建议。这只是一种解决方法，而不是解决方案。我仍然不知道为什么双精度会导致复杂的特征向量。

- user2471801

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这个解决方法可能有效，也可能无效。为了确保D是对称的，最好使用D = 0.5*(D+D')而不是D=single(D)。 - chtz

Answer 2

进行中

D = 0.5 * eye(10) - 0.05 * ones(10);
eig(D)

我理解

ans =
     -2.08166817117217e-17
                       0.5
                       0.5
                       0.5
                       0.5
                       0.5
                       0.5
                       0.5
                       0.5
                       0.5

这还不错。结果中的第一个特征值显然应该是零，所以存在舍入误差，但除此之外，结果与预期相符。由于数值精度有限的同样问题，我猜最终可能会出现非常小的复数部分，但实际上Matlab的eig应该能检测到对称性并产生仅为实数的特征值。

你是如何生成矩阵D的？也许它只大致具有你所描述的结构？

- A. Donda

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我尝试了你生成D的方法，它运行良好。所以我猜就像你说的那样，是我计算D的方式有问题。这是我生成D的方法。特征值不是问题，因为虚部为零。但特征向量是个问题。P = eye(10) - 1/10; delta = 1 - eye(10); A = -0.5 * delta;D = PAP; [vec val] =eig(D) - user2471801

@user2471801，我建议您将代码包含在问题文本中。这样其他人就更容易找到并阅读了 :-) - Stewie Griffin

@RobertP。感谢Robert P。我编辑了我的帖子，并以易读的格式添加了代码。 - user2471801

@A.Donda 我正在使用双精度。我切换到单精度，但它不会给出复数。有些奇怪的事情正在发生。我的笔记本电脑对于D给出复数，但是我的台式机使用双精度却给出实数。两台机器都有相同的操作系统和MATLAB版本。 - user2471801

@user2471801 这真的很奇怪。我从未听说过这样的事情，但我唯一能想到的是可能存在硬件问题（处理器或内存？）。虽然不是100%确定，但据我所知，Matlab应该在所有平台上给出完全相同的结果，因为使用的数字精度和库是相同的。 - A. Donda