用特征向量矩阵排序特征值矩阵

Question

我有一个包含N个特征值的列向量。 因此，有N个对应于这些特征值的特征向量，形成一个特征向量矩阵。

现在，我正在处理的问题需要我将特征值列向量按降序排序。如何将特征向量矩阵按相同顺序排序以保持对应关系？

- Bonk

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请注意，在Mathematica中使用机器数时，Eigensystem已经按降序返回了特征值/向量。 - Szabolcs

Eigensystem会返回特征值和特征向量，后者的顺序与前者对应。——Daniel Lichtblau - Daniel Lichtblau

我想指出一件事，对于数值矩阵的退化特征向量（即具有相同特征值的向量），Eigenvectors和Eigensystem返回的向量是线性独立的，而不是正交的。这一点曾经让我吃过亏。但是，你可以在退化集合上使用Orthogonalize来得到一个正交集合。 - rcollyer

@rcollyer，刚刚检查了一下，你是对的！我不知道这个... - Szabolcs

@rcollyer，我认为在正交化之前不需要将退化集合分开，一个简单的Orthogonolize@Eigenvalues[m]就可以了。至少对于使用Gram-Schmidt的情况是这样的。有人能确认一下吗？ - Szabolcs

@Szabolcs，没什么比在它们不正交时依赖它们的正交性更糟糕的了。而且，你是对的，你可以直接在整个集合上使用Orthogonalize，因为它不会影响不同子空间的正交性。 - rcollyer

Answer 1

例如，

m = RandomReal[{0, 1}, {5, 5}];
{evals, evecs} = Eigensystem[m];
SortBy[Transpose[{evals, evecs}], First]

如果您希望它们以相同的形式呈现，可以将最后一行替换为：

Transpose@SortBy[Transpose[{evals, evecs}], First]

编辑：虽然我使用了 {evals,evecs}=Eigensystem[m]，但这不是必要的。我可以只使用 s=Eigensystem[m] 然后在当前代码中使用 {evals,evecs} 的地方使用 s。

- acl

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哦，你比我快了；）我会删除我的答案。 - Thies Heidecke

您，先生，是一位学者和冠军。 - Bonk

Answer 2

虽然@acl和@yoda的排序方法（即对列表元素进行配对，然后一起排序）简单且常用，但我想展示另一种通用方法，可以根据一个特定的列表（list1）轻松地对任意数量的列表进行排序：

oo = Ordering[list1]; (* this finds the sorting order of list1 *)
list1[[oo]]
list2[[oo]]
list3[[oo]]  (* these order some other lists in the same way *)

- Szabolcs

Answer 3

您可以使用Sort函数根据特征值对特征系统进行排序。

mat = (#*Transpose@#) &@RandomReal[NormalDistribution[], {4, 4}];
eigsys = Sort@Transpose@Eigensystem[mat];

Sort 的默认行为是按照第一列进行排序。

- user616736

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我不确定，这是我观察到的一些东西，在玩弄了几个测试用例后，我感到满意，而且我一直在使用它来按第一列排序... 我倾向于这样做，直到出现可怕的错误时，我才去阅读文档 :) - user616736

我曾经认为在对列表进行排序时，它实现了词法排序，即 {1,0,3} 在 {1,0,4} 之前。因此，在粗略检查时，它似乎是按第一列排序，但实际上它是按所有列排序的。 - rcollyer

@rcollyer，它确实进行了词典排序。 - Szabolcs

Answer 4

使用Mathematica：

matrix = RandomReal[{0, 1}, {4, 4}];
{evals, evecs} = Chop[Transpose[Sort[Transpose[Eigensystem[matrix]]]]];

输出：

evals
{-0.296769, 0.187003, 0.52714, 2.00376}

evecs 
{{-0.412673,0.844056,-0.0718614,-0.334823}, 
{-0.370973,  -0.472126, 0.76248, 0.241042},
{-0.253163,  0.1719,  -0.786782, 0.536034},
{0.557741,  0.381364,  0.65039, 0.347102}}

- NAK