B样条曲线的控制点数量

Question

我正在尝试使用B样条曲线拟合。B样条曲线的阶数为4。当我有很多控制点时，它表现良好。然而，如果控制点数量较少，例如只有两个，我的程序会崩溃。我意识到控制点的数量与节点数和阶数有关。是否有人能帮我澄清这种关系或者提供一些相关链接呢？

- Jogging Song

Answer 1

听起来你只是超出了范围，这并不是计算样条的特定问题。要计算一个度数为n的b样条，你至少需要n + 1个点。

为了简化和展示问题：

- 最简单的插值方法是线性插值——只需在两个点之间画一条直线。 - 如果你只有一个点，你什么也无法插值，因为你不知道在哪里画。 - 对于二次插值，你至少需要三个点等等。 - 类似地，对于4阶b样条，你至少需要5个点。

这里可以找到一个非常好的在线演示：

• 在左下角选择任何一个b样条演示，我会选择线性的。
• 现在，在右侧，您可以设置控制点数目以及曲线的度数。
• 随意尝试操作，也可以通过鼠标移动点来进行尝试。

- Mario

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如果控制点、节点向量和B样条的次数已经给定并且符合要求，那么B样条就被定义了。如果我希望进行B样条曲线拟合，我应该怎么做？谢谢。 - Jogging Song

@JoggingSong，我不太确定你在问什么。 - Mario

我不知道如何使用B样条进行最小二乘曲线拟合。有人给了我这个链接：http://www.geometrictools.com/Documentation/BSplineCurveLeastSquaresFit.pdf。我正在阅读这份文档。曲线拟合是否尝试优化控制点？ - Jogging Song

在LS拟合中，通常B样条的次数和段数是预先定义好的。从次数和段数以及数据点的参数中得出适当的节点向量，然后找到控制点以最小化最小二乘误差。 - fang

@Ponkadoodle 完成 - Mario

Answer 2

两个控制点不能定义四阶B样条。对于B样条，结点的数量需要等于控制点数和次数之和。一个三次B样条单段将需要4个控制点和8个节点值。因此，要计算阶为N的B样条，你至少需要N个点。这将给你一个单段的B样条。如果你有更多的点，那么结果的B样条将有更多的段。

- fang

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目前我正在尝试进行B样条曲线拟合。 我将根据输入点的数量确定段数，公式为段数等于（输入点数）/ 10 +1）。我始终使用4阶B样条。如果输入点的数量很少，会导致问题。如何使用B样条进行曲线拟合？ - Jogging Song

看起来你想用B样条进行最小二乘拟合。如果是这种情况，你可以参考这篇文章（http://www.geometrictools.com/Documentation/BSplineCurveLeastSquaresFit.pdf）。 - fang

我正在阅读这份文档。在文档中，输入数据被称为样本数据，优化是为了找到控制数据以最小化误差。我有一个问题。也许B样条曲线的基函数是由结点向量确定的。然后结点向量是均匀的。 - Jogging Song

你有什么问题？ - fang

我的问题是哪个参数被优化用于最小二乘B样条拟合。从几何工具的文档中可以看出，需要确定控制点Qi。如果是这样，基函数就已知，并且基函数是从结点向量计算出来的，那么我可以说结点向量与控制点无关且是均匀的吗？ - Jogging Song

是的，控制点需要通过LS拟合来确定。如果您有足够数量的数据点，可以使用均匀结节向量。但是，使用适应数据点分布的结节向量通常会得到更好的结果。 - fang

Answer 3

如其他人所述，控制点的数量等于节点数减去bspline基础的阶数。因此，一旦您固定了控制点，您就不能拥有任意组合的阶数（比如k）和节点向量来创建您的bspline函数/曲线。

关于b样条和nurbs曲线的理论，以下链接非常有用： http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/index.html 在那里，您可以找到控制点数量与节点向量维度等之间的关系，以及详细的示例和一些算法。

根据您的需求，您还可以查看Piegl和Tiller的《The NURBS book》 http://www.amazon.com/NURBS-Book-Monographs-Visual-Communication/dp/3540615458 他们做了出色的工作，在他们的书中包含了可行的算法。

将文本翻译成中文：

对于数据的B样条曲线拟合问题是一个相当大的主题，因为您必须注意避免过度/欠拟合。有几种方法，大多数涉及包含曲率惩罚项。文献非常丰富，但您可以在Hastie等人的书籍“统计学习的基础”中找到大量信息和很好的起点，您可以从作者网站上合法下载：http://statweb.stanford.edu/~tibs/ElemStatLearn/ 所有我提供的参考资料都在一定程度上涵盖了曲线拟合问题。祝你好运。

- Foivos