学生t分布的累积分布函数（CDF）R基础文档

Question

在学生t分布的累积分布函数的背景下，R版本4.3.1的?dt文档强调了以下结果： 然而，在尝试验证这个公式的准确性时，出现了一个不一致性，如下面的代码片段所示：

v <- 5
t <- -1

## Student's t-distribution cumulative distribution function
pt(q = t, df = v, lower.tail = TRUE, ncp = 0)
#> [1] 0.1816087

## Application of the theorical result where there is a discrepancy 
## based on what is mentioned in R Version 4.3.1's ?dt documentation
1 - pbeta(q = v / (v + t^2), shape1 = v/2, shape2 = 1/2, 
          ncp = 0,lower.tail = TRUE)
#> [1] 0.6367825

^{创建于2023-10-09，使用reprex v2.0.2生成}

这个问题引发了对文档准确性的质疑。在向R项目报告潜在错误之前，我正在寻求澄清，以确定问题是否出在文档本身。这个询问与一个理论概念有关，详细解释可以在这里找到。

- luifrancgom

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我不认为这个推导是正确的。你应该参考网页https://mathworld.wolfram.com/Studentst-Distribution.html中的方程（7）。 - undefined

或许值得注意的是，这个部分只是在一年前添加的：https://github.com/r-devel/r-svn/commit/61e301ad9720195f6756317458761df9bfbc0f2d - undefined

非常感谢Ben Bolker指出这一点。我非常感激你的帮助。 - undefined

Answer 1

嗯，看起来好像出错了。这是一个有效的身份证：

v <- 5
t <- -1

## Student's t-distribution cumulative distribution function
pt(q = t, df = v, lower.tail = TRUE, ncp = 0)
#> [1] 0.1816087

x = (t + sqrt(t * t + v)) / (2.0 * sqrt(t * t + v))
pbeta(q = x, shape1 = v/2, shape2 = v/2, ncp = 0, lower.tail = TRUE)
#> [1] 0.1816087

还有一个，更接近R文档的声明：

pbeta(q = v / (v + t^2), shape1 = v/2, shape2 = 1/2, 
            ncp = 0,lower.tail = TRUE) / 2
#> [1] 0.1816087

- Stéphane Laurent

Answer 2

首先，我不认为R手册中的公式是正确的！

你应该使用以下公式来计算CDF。

> 1 / 2 + 1 / 2 * (pbeta(1, v / 2, v) - pbeta(v / (v + t^2), v / 2, 1 / 2)) * sign(t)
[1] 0.1816087

这个公式是指https://mathworld.wolfram.com/Studentst-Distribution.html，参见方程式（7）。

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将功能分解

我们可以看到，累积分布函数取决于t的符号。请注意，pbeta(1, a, b) = 1始终成立，因此表达式可以进一步简化，并以t的分段方式书写，如下：

• 如果t>0

1 - 0.5 * pbeta(v / (v + t^2), v / 2, 1 / 2)

• Otherwise

0.5 * pbeta(v / (v + t^2), v / 2, 1 / 2)

请注意，你有一个负数 t < -1，所以你应该使用第二个表达式（注意在 pbeta 前面的因子 0.5），然后你会看到。

> 0.5 * pbeta(v / (v + t^2), v / 2, 1 / 2)
[1] 0.1816087

- ThomasIsCoding

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感谢ThomasIsCoding指出另一种选择。 - undefined

@luifrancgom 我在我的回答中添加了更多的解释。 - undefined

再次感谢ThomasIsCoding。现在我更明白了！我将尝试使用概率分布函数推导出当t > 0的情况。最初我只能推导出t < 0的情况。 - undefined