渲染分形：莫比乌斯变换和牛顿盆地

Question

渲染分形：莫比乌斯变换和牛顿盆地

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我知道如何渲染（二维）“逃逸时间群”分形（朱利亚和曼德博集合），但似乎无法渲染一个Mobius变换或者牛顿盆。我尝试使用相同的方法（通过在每个像素上递归地使用多项式方程“n”次），但我有一种感觉这些分形是用完全不同的方法渲染的。Mobius“变换”意味着必须先存在一幅图像，然后对其进行变换以产生几何形状，而牛顿盆似乎绘制每个点，而不仅仅是落入某个集合的点。

这些分形是如何绘制的？它们是否使用与朱利亚和曼德博一样的迭代方法进行绘制？

我正在使用的方程：

Julia: Zn+1 = Zn^2 + C

其中Z是代表像素的复数，C是一个复常数（正确）。

Mandelbrot: Cn+1 = Cn^2 + Z

Z是代表像素的复数，C是复数（0, 0），每个步骤都会复合起来（与朱利亚集相反）。

Newton Basin: Zn+1 = Zn - (Zn^x - a) / (Zn^y - a)

其中 Z 代表表示像素的复数，x 和 y 是不同次数的指数，a 是一个复杂常数（错误 - 创建一个居中的、八条腿的“线性星”）。

Mobius Transformation: Zn+1 = (aZn + b) / (cZn + d)

其中，Z代表一个表示像素的复数，a、b、c和d是复常数（不正确，所有内容都属于该集合）。

那么，牛顿盆和莫比乌斯变换如何在复平面上绘制呢？

更新：莫比乌斯变换就是转换。

"Every Möbius transformation is
a composition of translations,
rotations, zooms (dilations) and
inversions."

执行Mobius变换时，必须先有一个形状、图片、涂抹等才能进行变换。

那么，牛顿盆如何呢？

更新2：我的牛顿盆数学计算有误。方程末尾的分母（应该是）原始函数的导数。可以通过研究MIT MatLab源代码中的“NewtonRoot.m”来理解该函数。搜索引擎可以很容易地找到它。但我仍然不知道如何在复平面上绘制它...

牛顿盆：

f(x) = x - f(x) / f'(x)

- MrMysterious2502

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- Searles · Accepted Answer

在Mandelbrot和Julia集中，如果内部循环超过了一个特定的阈值作为轨道“达到”无穷大的速度的测量，您将终止内部循环。

if(|z| > 4) { stop }

对于牛顿分形图而言，情况则相反：由于牛顿迭代法通常会收敛于某个特定值，我们更关心它达到极限的速度，这可以通过检查连续两个值之间的差异何时降至某个特定值以下（通常10^-9是一个好的值）来实现。

if(|z[n] - z[n-1]| < epsilon) { stop }