Python 四维球面上均匀分布点

Question

我需要在一个四维球体上均匀分布点。我知道这不像挑选三个角度并使用极坐标那么简单。

在三维空间中，我使用以下方法：

from random import random

u=random()
costheta = 2*u -1 #for distribution between -1 and 1
theta = acos(costheta)
phi = 2*pi*random

x=costheta
y=sin(theta)*cos(phi)
x=sin(theta)*sin(phi)

这将提供 x、y 和 z 的均匀分布。

我如何获得类似的 4 维分布？

- Sameer Patel

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如何在N维球面上随机生成均匀分布的点：http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Uniformly_at_random_from_the_.28n.C2.A0.E2.88.92.C2.A01.29-sphere - unutbu

等等，你想让这些点在一个球体上均匀分布，但是在x、y、z（第四维）上也均匀分布？我觉得这不太对。我认为在球体上均匀分布的点不会映射到4D空间中均匀分布。 - Nicu Stiurca

@SchighSchagh，所以你不能在四维空间中运行蒙特卡罗模拟吗？ - Sameer Patel

@SameerPatel 这与蒙特卡罗或任何其他采样方法无关。这里有两个不同的空间（一个是R^4，另一个是4-球面的表面），我们需要知道你想要在哪个空间中进行均匀随机分布。 - Nicu Stiurca

Answer 1

一种标准的方式是使用Muller的方法在N-球面上生成均匀分布的点，尽管这可能不是最快的。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.mplot3d.axes3d as axes3d

N = 600
dim = 3

norm = np.random.normal
normal_deviates = norm(size=(dim, N))

radius = np.sqrt((normal_deviates**2).sum(axis=0))
points = normal_deviates/radius

fig, ax = plt.subplots(subplot_kw=dict(projection='3d'))
ax.scatter(*points)
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

只需将 dim = 3 改为 dim = 4 即可在四维球面上生成点。

- unutbu

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采用均匀分布会产生一个密度向立方体角落聚集的球形样本。如何证明使用高斯分布不会导致这个问题呢？如果我在脑海中想象一下，似乎很有道理，但真的是这样吗？当指定大小时，我假设numpy的高斯分布对于每个坐标都是独立的。 - Guillaume Chevalier

那么除以零怎么办？ - Guillaume Chevalier

@GuillaumeChevalier：我承认我不太理解具体细节，但也许你会发现这个证明概述很有用。关于除以零的问题：我相信被除数为0的概率本身就是0。在实际应用中，NumPy通过发出警告并返回NaN（而Matplotlib跳过等于NaN的点）来处理除以零。 - unutbu

很棒的解决方案，但如何更改球体的中心和最大半径？ - user3379482

@user3379482：您可以使用points = new_radius * points + new_location将points移动到新位置并使用新半径，其中new_radius是标量，而new_location是序列（例如元组、列表或NumPy数组）。 - unutbu

Answer 2

取一个在4D空间中坐标服从正态分布的点，并计算它的单位向量。这将位于单位4-球上。

from random import random
import math
x=random.normalvariate(0,1)
y=random.normalvariate(0,1)
z=random.normalvariate(0,1)
w=random.normalvariate(0,1)
r=math.sqrt(x*x + y*y + z*z + w*w)
x/=r
y/=r
z/=r
w/=r
print (x,y,z,w)

- Manishearth

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当然，这将在4维球面上生成一个随机点，但分布是否均匀？ - Nicu Stiurca

@SchighSchagh：均匀分布的？是的。 - Manishearth

x、y、z、w最初在R ^ 4上是均匀随机的，但然后它们经历了非线性变换，我仍然不确定OP是否希望它们与球面或R ^ 4的表面相对均匀地随机。编辑：您能否具体说明与何种均匀随机相关，并加以证明？ - Nicu Stiurca

@SchighSchagh：糟糕，我忘记了要对它们进行正常分布。请参见http://enwp.org/N-sphere#Uniformly_at_random_from_the_.28n.C2.A0.E2.88.92.C2.A01.29-sphere。 - Manishearth

除以零怎么办？ - Guillaume Chevalier

Answer 3

如果高斯采样确实创建了一个均匀分布的球形分布（而不是从立方体中采样），我喜欢@unutbu的答案，但为了避免在高斯分布上采样并且需要证明它，有一个简单的解决方案：在球面上进行均匀分布采样（而不是在立方体上）。

1. 生成均匀分布的点。
2. 计算每个点的平方半径（避免使用平方根）。
3. 丢弃点：
   • 丢弃平方半径大于1的点（因此，半径大于1的非平方点）。
   • 丢弃太靠近零半径的点，以避免与下一步中的除法相关的数值不稳定性。
4. 对于每个保留的采样点，将采样点除以其范数，以便将其重新归一化为单位半径。
5. 洗涤和重复更多点，因为已丢弃的样本。

显然，这适用于n维空间，因为在高维度中，半径始终是L2范数。

它很快，因此避免了平方根和高斯分布采样，但它不是矢量化算法。

- Guillaume Chevalier

Answer 4

我发现了一个很好的解决方案，可以从N维球面中进行采样。主要思路是：

如果从非相关多元正态分布中抽取Y，则S = Y / ||Y||在单位d-球面上具有均匀分布。将S乘以U^1/d，其中U在单位区间(0,1)上具有均匀分布，就可以在单位d-球体中创建均匀分布。

以下是Python代码：

Y = np.random.multivariate_normal(mean=[0], cov=np.eye(1,1), size=(n_dims, n_samples))
Y = np.squeeze(Y, -1)
Y /= np.sqrt(np.sum(Y * sample_isotropic, axis=0))
U = np.random.uniform(low=0, high=1, size=(n_samples)) ** (1/n_dims)
Y *= distr * radius # in my case radius is one

这是我得到的球体：

- Ron Klintskey

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变量distr和sample_isotropic是什么？您能修改代码示例使其正常工作吗？ - n1k31t4

这个概念上与unutbu的答案有什么不同？为什么你生成了U却没有使用它？ - undefined