余弦相似度优化实现

Question

我正在尝试理解这段优化代码，用于查找用户矩阵之间的余弦相似度。

def fast_similarity(ratings,epsilon=1e-9):
    # epsilon -> small number for handling dived-by-zero errors
    sim = ratings.T.dot(ratings) + epsilon
    norms = np.array([np.sqrt(np.diagonal(sim))])
    return (sim / norms / norms.T)

如果 ratings =

           items           
     u  [
     s    [1,2,3]
     e    [4,5,6]
     r    [7,8,9] 
     s  ]

norms将等于= [1^2 + 5^2 + 9^2]

但是为什么我们要写sim/norms/norms.T来计算余弦相似度呢？任何帮助都将不胜感激。

- Manish Kumar

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我之前在http://codereview.stackexchange.com/questions/159231/cosine-similarity-optimization上发布了这个问题，并得到了一条评论，说那不是正确的地方。我希望这里是这样的问题的正确场所。 - Manish Kumar

详情请参考：源代码已从http://blog.ethanrosenthal.com/2015/11/02/intro-to-collaborative-filtering/获取。 - Manish Kumar

Answer 1

浏览代码，我们可以得到:

这意味着，在sim矩阵的对角线上，我们有每列相乘的结果。

如果您想使用一个简单的矩阵来尝试，请随意使用:

您可以轻松检查这个格拉姆矩阵（这就是这个矩阵乘积的名称）具有此属性。

现在，代码定义了norms，它只是一个获取我们gram matrix对角线并在其每个元素上应用sqrt的数组。

这将给我们一个包含每列的规范值的数组：

因此，基本上norms向量包含result矩阵的每列的规范值。

一旦我们拥有所有这些数据，我们就可以评估这些用户之间的余弦相似度，因此我们知道余弦相似度的计算方式如下:

请注意:

所以我们得到的相似度为:

因此，我们只需将项替换为我们的代码变量，即可获得:

这就解释了为什么你需要这行代码:

return sim / norms / norms.T

编辑： 看起来我的表述不太清楚，我在这个回答中每次提到矩阵乘法时都是指两个矩阵的点积。

这意味着当写成A*B时，我们实际上要展开并解决A.T * B。

- rakwaht

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你的意思是 A * B = transpose(A) * A 吗？ - Moses Koledoye

我们正在谈论“点积”。 - rakwaht

如果您明确指定，那么会更好。 - Moses Koledoye

你在哪里读到norms = A.T？我的意思是：“代码定义了范数，它实际上是一个数组，取我们的Gram矩阵的对角线并在每个元素上应用sqrt。” - rakwaht

规范向量应该包含目标矩阵A的每一行的归一化值。由于我们的规范数组包含A的每一列的一个归一化值，因此我们可以说这正好是||A.T||（请注意，如果我们转置A，现在规范包含A.T的所有归一化值的行）。 - rakwaht