根据余弦相似度创建随机向量

Question

基本上，给定一个向量v，我想获得另一个具有一些余弦相似度的随机向量w，使得v和w之间有一些余弦相似度。在Python中有没有办法做到这一点？

例如：为了简单起见，我将使用2D向量[3，-4]。我想获得一个余弦相似度为60%或0.6以上的随机向量w。这应该生成向量w的值为[0.875，3]或任何其他具有相同余弦相似度的向量。所以我希望这已经足够清楚了。

- eugen

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暴力破解：在循环中，生成随机向量；计算余弦相似度；如果满足您的条件，则保存向量；当您获得十个（100、1000、？）时停止。| 查看这些向量，看看是否有模式可以用来限制向量生成。 - wwii

我投票重新开放这个问题，因为它很容易解决（删除最后一行）。 - Paul Panzer

我已经删除了最后一行，所以现在它不会要求特定的库推荐。 - eugen

Answer 1

给定向量v和余弦相似度costheta（介于-1和1之间的标量），按照函数rand_cos_sim(v, costheta)中的方式计算w：

import numpy as np


def rand_cos_sim(v, costheta):
    # Form the unit vector parallel to v:
    u = v / np.linalg.norm(v)

    # Pick a random vector:
    r = np.random.multivariate_normal(np.zeros_like(v), np.eye(len(v)))

    # Form a vector perpendicular to v:
    uperp = r - r.dot(u)*u

    # Make it a unit vector:
    uperp = uperp / np.linalg.norm(uperp)

    # w is the linear combination of u and uperp with coefficients costheta
    # and sin(theta) = sqrt(1 - costheta**2), respectively:
    w = costheta*u + np.sqrt(1 - costheta**2)*uperp

    return w

例如，

In [17]: v = np.array([3, -4])

In [18]: w = rand_cos_sim(v, 0.6)

In [19]: w
Out[19]: array([-0.28, -0.96])

验证余弦相似性：

In [20]: v.dot(w)/(np.linalg.norm(v)*np.linalg.norm(w))
Out[20]: 0.6000000000000015

In [21]: w = rand_cos_sim(v, 0.6)

In [22]: w
Out[22]: array([1., 0.])

In [23]: v.dot(w)/(np.linalg.norm(v)*np.linalg.norm(w))
Out[23]: 0.6

返回值的大小始终为1，因此在上面的示例中，只有两个可能的随机向量，[1, 0]和[-0.28，-0.96]。

另一个示例，在三维空间中：

In [24]: v = np.array([3, -4, 6])

In [25]: w = rand_cos_sim(v, -0.75)

In [26]: w
Out[26]: array([ 0.3194265 ,  0.46814873, -0.82389531])

In [27]: v.dot(w)/(np.linalg.norm(v)*np.linalg.norm(w))
Out[27]: -0.75

In [28]: w = rand_cos_sim(v, -0.75)

In [29]: w
Out[29]: array([-0.48830063,  0.85783797, -0.16023891])

In [30]: v.dot(w)/(np.linalg.norm(v)*np.linalg.norm(w))
Out[30]: -0.75

- Warren Weckesser

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@Warren，你为什么要使用 np.random.multivariate_normal？我试着用你的代码，发现使用 np.random.normal 更快。你使用多元分布的特定原因是什么？ - ashutosh singh

@ashutoshsingh，我使用multivariate_normal是因为在实现时我想到了这个抽象概念。我想要一个随机向量，其分布是径向对称的。但是如果协方差矩阵是单位矩阵，那么同样可以使用np.random.normal(size=len(v))或者np.random.randn(len(v))。如果它们更快，那就使用其中之一吧！ - Warren Weckesser

Answer 2

SciPy余弦距离：https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.spatial.distance.cosine.html

from scipy.spatial.distance import cosine

v = [3, -4]

w = [0.875, 3]

cosine(v, w)

就反向工作而言，您可以使用点积自己完成。

- Alexis Drakopoulos

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这个回答如何回答上面的问题？我想要得到向量w，但我不知道如何逆推... - eugen

我以为你在寻找一个实现余弦距离的库，为了反向工作，坐下来重新编写公式以找到所需的向量。然后实现它，scipy也有点积。 - Alexis Drakopoulos