在gnuplot中平滑峰值

Question

我有一些数据点f(x_i)，在点x_i处（只知道数值，不知道函数f）。其中f(0)=0。这些数据显示，小x的位置有一个类似峰的结构，然后在大x的位置有一个缓慢的肩膀下降，在最高点的一半开始。我想通过这些数据点绘制平滑的曲线。 如果我使用贝塞尔曲线，则确实f(0)=0是可以的，但峰值显著降低了（约25%）。如果我使用acsplines，则峰值看起来更好，但无法保持f(0)=0。 如何平滑处理该数据集而不会丢失重要信息（f(0)=0）或分布的峰度？

- Umo

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http://stats.stackexchange.com/ - Andrew

尝试使用三次样条函数，smooth csplines 或 smooth mcsplines。 - Christoph

谢谢，确实cplines或mcsplines比其他方法更好地保持了峰值。然而，这是有代价的：如果我选择使峰值高度正确的权重，那么曲线的其余部分（在高x处的肩膀）看起来会很波动。 在gnuplot中有一种分段平滑的方法吗？ - Umo

这就是smooth mcsplines的作用，所以应该可以正常工作。顺便说一句：csplines和mcsplines都不使用权重。 - Christoph

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Answer 1

使用 acsplines 进行平滑处理会绘制一个近似的三次样条曲线，该曲线不会经过原始数据点。

更好的方法可能是使用立方样条曲线 smooth csplines，它会穿过所有的数据点，但可能会在尖峰处显示过冲现象。

在您的情况下，最好的解决方案是使用单调立方样条曲线 smooth mcsplines，它保持了原始数据点的单调性和凸性（参见 F.N. Fritsch 和 R.E. Carlson，“ Monotone Piecewise Cubic Interpolation”，SIAM Journal on Numerical Analysis 17，pp. 238-246 (1980)）。

这里有一个简短的例子展示了这些差异：

test.dat 文件包含以下数据点：

0 0
0.2 1
0.4 10
0.6 80
1 30
2 20
3 13
4 7
5 2
6 1 
7 0

绘制它们的脚本为

set xzeroaxis
set style data lines
set samples 500
plot 'test.dat' u 1:2 smooth acsplines title 'acsplines', \
     '' u 1:2 smooth csplines title 'csplines', \
     '' u 1:2 smooth mcsplines lw 2 title 'mcsplines',\
     '' u 1:2 w p pt 7 title 'data points'

- Christoph

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感谢这些详细的解释。现在我明白为什么mcsplines不适合我了。我处理的数据点存在一些数值噪声，因此平滑曲线不应该穿过这些点。如果权重选择正确，acsplines在峰值右侧的区域做得很好，但它也会平滑掉峰值（显著降低最大值）。这就是为什么我想对曲线的不同部分应用不同的平滑算法。在您的小例子中，给最右边的6个点添加一些散点，然后找到一条平滑曲线。 - Umo

你需要平滑曲线做什么？你可以用mcsplines绘制峰值周围的数据，用acsplines绘制尾部。使用“every”限制区域，然后就可以读取峰宽，但两条曲线相交的位置会有不连续性。 - Christoph

我需要一条平滑曲线用于出版。我所需要的是一条平滑曲线，它可以去除数据点中的统计噪声并保留峰值（该峰值具有明确的物理解释），同时大致（比如说在5%以内）保持正确的最大值。因此，不连续性并不是一个理想的特征。 - Umo

这些要求是相互矛盾的，我认为你无法找到一个适合的平滑方法而不涉及可疑的黑客技巧。我的问题更多地针对于该线是否应该成为眼睛的向导，或者你想估计峰值宽度、衰减时间等等。如果你有一些数据模型，你也可以进行拟合。 - Christoph