两个在同一平面内、有相同起点的三维向量之间的有向夹角

Question

我需要的是两个位于同一3D平面且拥有相同起点的向量Va和Vb之间旋转角度的有符号值，已知以下条件：

1. 包含两个向量的平面是任意的，不与XY或其他基本平面平行
2. Vn-是一个平面法线
3. 两个向量以及法线都具有相同的起点O = {0, 0, 0}
4. Va-是在Vn处测量左手旋转的参考

该角度应该按照这样的方式测量，即如果平面是XY平面，则Va将代表其X轴单位向量。

我猜我应该使用Va作为X轴和Vb和Vn的叉积作为Y轴进行一种坐标空间转换，然后只需使用类似于atan2（）的2d方法。 有什么想法？公式？

- Advanced Customer

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是的，我知道"acos（Va.Vb）"的方法，但由于余弦函数的性质总是给出正结果。 - Advanced Customer

你能解释一下Va吗？它是否与Vn并行？ - David Norman

Vn 是飞机的法向量，因此它垂直于 Va 和 Vb - 并且最初已知。 - Advanced Customer

问题中的任务已经被简化。在这种情况下，Vn是最初已知的唯一向量，以及旋转矩阵R。然后通过将Vn与基向量之一进行叉积来计算Va：Va = normalize( Vn x {0,1,0} )。 - Advanced Customer

在使用 atan2 函数时，不需要除以 (|Va||Vb|) 来计算 sin 和 cos。因为 atan2 函数的工作原理会消去分母。 - John Alexiou

Answer 1

我目前正在使用的解决方案似乎在此处缺失。 假设平面法线已经归一化（|Vn| == 1），有向角度简单地表示为：

从Va到Vb的右手旋转：

atan2((Va x Vb) . Vn, Va . Vb)

从Va到Vb的左手旋转：

atan2((Vb x Va) . Vn, Va . Vb)

它返回一个范围为[-PI，+PI]的角度（或任何可用的atan2实现返回的角度）。

“.”和"x"分别表示点乘和叉乘。

不需要显式分支或除法/向量长度计算。

为什么这有效的解释：假设alpha是向量之间的直接角度（0°至180°），beta是我们要查找的角度（0°至360°），并且具有beta == alpha或beta == 360° - alpha。

Va . Vb == |Va| * |Vb| * cos(alpha)    (by definition) 
        == |Va| * |Vb| * cos(beta)     (cos(alpha) == cos(-alpha) == cos(360° - alpha)


Va x Vb == |Va| * |Vb| * sin(alpha) * n1  
    (by definition; n1 is a unit vector perpendicular to Va and Vb with 
     orientation matching the right-hand rule)

Therefore (again assuming Vn is normalized):
   n1 . Vn == 1 when beta < 180
   n1 . Vn == -1 when beta > 180

==>  (Va x Vb) . Vn == |Va| * |Vb| * sin(beta)

最后

tan(beta) = sin(beta) / cos(beta) == ((Va x Vb) . Vn) / (Va . Vb)

- Adrian Leonhard

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完美运行！迄今为止最优雅的解决方案。谢谢Adrian。 - Anton Holmberg

这绝对是这里最好的答案。我怀疑这个解决方案也更加数值稳定。 - Eric

我认为atan2((Vb x Va) . Vn, Va . Vb)中有一个错别字，是不是我错了？应该是atan2((Va x Vb) . Vn, Va . Vb)。 - MarcoM

原问题要求从Va到Vb的左手旋转。对于右手旋转来说，Va x Vb是正确的。参见https://en.wikipedia.org/wiki/Right-hand_rule#Rotation。 - Adrian Leonhard

当 beta < 180 时，sin(alpha) * n1 . Vn == sin(alpha) == sin(beta) ，否则 sin(alpha) * n1 . Vn == -sin(alpha) == sin(beta)。 - Adrian Leonhard

Answer 2

使用两个向量的叉积来获取由这两个向量组成的平面的法向量。然后检查该法向量与原始平面法向量之间的点积，以确定它们是否面向相同的方向。

angle = acos(dotProduct(Va.normalize(), Vb.normalize()));
cross = crossProduct(Va, Vb);
if (dotProduct(Vn, cross) < 0) { // Or > 0
  angle = -angle;
}

- msell

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如果这个答案正确，请打勾吗？否则，您对上述内容做了哪些更改？ - user234736

可能的改进：使用 angle = angle*sgn(dotProduct(Vn,cross)) 替代 if 语句。不确定其效率是否更高，但看起来更简洁美观。 - NauticalMile

非常好的答案 - 在2D中也很有用，可以检查多边形是否严格凸。我在线段交叉测试中使用了它。 - PinkTurtle

在我的情况下，这个解决方案的不精确度达到了30度。 - marczellm

当向量几乎平行或几乎相反时，此解决方案非常不精确。这是因为余弦函数在这些点上几乎是平的，所以反余弦函数的精度非常低。请改用下面回答中的解决方案。 - kaalus

Answer 3

你可以分两步来完成这个操作：

1. 计算出两个向量之间的夹角

   theta = acos(Va和Vb的点积)。假设Va和Vb已经被标准化了，这将给出两个向量之间的最小夹角。

2. 确定夹角的正负号

   找到向量V3 = Va和Vb的叉积。(顺序很重要)

   如果(V3和垂直于它们平面的单位法向量的点积)是负数，则theta是负的。否则，theta为正。

- Parag

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对于该符号，可能不应该是V3.Vb-会产生不稳定的结果。在步骤2中应该是：Vn.（Va x Vb）-用来检查原始法线（Vn）是否与Va和Vb的叉积方向相同。 - Advanced Customer

@leetNightshade：根据您的评论进行了编辑。 - Peter O.

@PeterO。太棒了。我取消了我的反对票。现在它与https://dev59.com/rG435IYBdhLWcg3w1juV#5190354非常相似，但是使用伪代码。 - leetNightshade

Answer 4

使用点积可以得到角度的正负。 要获取角度的符号，请使用Vn *（Va x Vb）的符号。在XY平面的特殊情况下，这仅缩减为Va_x * Vb_y-Va_y * Vb_x。

- Stephen Canon

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我猜这是为了2D向量，而现在需要将其改为3D向量。两个3D向量所属的平面不与XY平面平行，因此仅使用x和y分量在某些情况下可能无法正常工作。 - Advanced Customer

@高级客户：您需要对Va和Vb的叉积进行点积，再与Vn相乘-该数量的符号即为角度的符号。 - Stephen Canon

@StephenCanon：应该是“点积”还是“叉积”？ - Jichao

@Jichao：不是的；点积可以让你计算出两个向量之间的夹角大小。 - Stephen Canon

@StephenCanon：我想我误解了你的意思（up to sign）。我的意思是角度的符号取决于叉积。 - Jichao

@Jichao：这里有两个句子。第一个句子表示你可以使用点积来获取角度的大小。第二个句子表示你可以使用 Vn * (Va x Vb) 来获取角度的符号，其中包含了点积和叉积。这两个句子是独立的。 - Stephen Canon

Answer 5

高级客户提供了以下解决方案（最初是对问题的编辑）：

SOLUTION:

sina = |Va x Vb| / ( |Va| * |Vb| )
cosa = (Va . Vb) / ( |Va| * |Vb| )

angle = atan2( sina, cosa )

sign = Vn . ( Va x Vb )
if(sign<0)
{
    angle=-angle
}

- Peter O.

Answer 6

将一个向量与另一个向量进行叉积，并归一化得到单位向量。

两个向量间夹角的正弦等于叉积的大小除以两个向量的大小之积。详见：http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html

- duffymo

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这样做的好处是，由于涉及到大小，即使没有符号，它也能正常工作 - 角度始终为正，就像acos()一样。似乎唯一正确和稳定的方法是创建一个坐标变换矩阵，以Vn作为Z轴，Va作为X轴，它们的叉积作为Y轴，这样所有这些都会降级为简单的2D情况。 - Advanced Customer

实际上它是可以工作的，但我想Parag描述得更清楚一些 - 所以请参见上面 :) - Advanced Customer

符号可能不同，因为每个二维表面都有两个法向量，取决于您感兴趣的是哪一侧。 任何一个都是有效的。由您决定哪个适合您的问题。如果我有一个由两个向量定义的平面作为房间中的墙壁，我可以使用叉积来获得法向量，该法向量面向房间内部或外部，具体取决于我的要求和在表达式中先出现的向量。哪个是正确的？两个都是 - 这取决于上下文。 - duffymo

你能帮我吗？我数学不好。 https://math.stackexchange.com/questions/2997836/create-wall-3d-math-oriented-away-from-camera - Prashant Tukadiya

Answer 7

设θ为向量之间的夹角。令C = Va叉乘Vb。则

sinθ = length(C) / (length(Va) * length(Vb))

要确定θ是正数还是负数，请记住C垂直于Va和Vb，指向由right-hand rule确定的方向。因此，特别地，C与Vn平行。在您的情况下，如果C指向与Vn相同的方向，则θ为负，因为您想要左旋转。可能最简单的计算方法是快速检查Vn和C是否指向相同的方向，只需取它们的点积；如果它是正的，则它们指向相同的方向。

所有这些都遵循cross product的基本属性。

- David Norman

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这在有符号性方面是不现实的，因为所有的量级都是2的幂的乘积 - 因此始终是正数。 - Advanced Customer

符号来自于C和Vn的点积，如果它们指向相反的方向，则为负。 - David Norman

从问题“Vn-是一个平面法线”开始。 - David Norman

你能帮我吗？我不擅长数学。https://math.stackexchange.com/questions/2997836/create-wall-3d-math-oriented-away-from-camera - Prashant Tukadiya

Answer 8

假设Vx是x轴，给定法向量Vn，通过叉积可以得到y轴，你可以将向量Vb投影到Vx和Vy上（通过点积可以得到Vb在Vx和Vy上的投影长度），给定平面上的(x, y)坐标，你可以使用atan2(y, x)来获取范围在[-pi, +pi]内的角度。

- LittleSweet

Answer 9

对于使用Python的人，Adrian Leonhard 提供的解决方案现在已经在 scikit-spatial 库中实现了（最新版本即将发布）。请查找 Vector class 的 angle_signed_3d。

以下是两个示例：

>>> import numpy as np
>>> from skspatial.objects import Vector
>>> np.degrees(Vector([1, 0, 0]).angle_signed_3d([0, -1, 0], direction_positive=[0, 0, 2]))
-90.0

>>> np.degrees(Vector([1, 0, 0]).angle_signed_3d([0, -1, 0], direction_positive=[0, 0, -5]))
90.0

- blunova

Answer 10

这是用于计算二维或三维中两个向量u和v之间有符号角度的Matlab代码。代码本身很容易理解。符号约定是，当ix和iy（[1,0,0]，[0,1,0]）或iy和iz（[0,1,0]，[0,0,1]）之间输出正的+90°。

function thetaDEG = angDist2Vecs(u,v)

if length(u)==3
    %3D, can use cross to resolve sign
    uMod = sqrt(sum(u.^2));
    vMod = sqrt(sum(v.^2));
    uvPr = sum(u.*v);
    costheta = min(uvPr/uMod/vMod,1);

    thetaDEG = acos(costheta)*180/pi;

    %resolve sign
    cp=(cross(u,v));
    idxM=find(abs(cp)==max(abs(cp)));
    s=sign(cp(idxM(1)));
    if s < 0
        thetaDEG = -thetaDEG;
    end
elseif length(u)==2
    %2D use atan2
    thetaDEG = (atan2(v(2),v(1))-atan2(u(2),u(1)))*180/pi;
else
    error('u,v must be 2D or 3D vectors');
end

- Massimo

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最好编辑帖子并在那里写下那些信息。 - illright

我在这里提供了MATLAB代码下载链接：https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/78300-signedangletwovectors - brethvoice