两个向量之间的夹角（Matlab）

Question

我希望能够计算2个向量 V = [Vx Vy Vz] 和 B = [Bx By Bz] 之间的夹角。这个公式正确吗？

VdotB = (Vx*Bx + Vy*By + Vz*Bz)

 Angle = acosd (VdotB / norm(V)*norm(B))

还有其他方法可以计算它吗？

我的问题不是为了规范化向量或使它更容易。我想知道如何获取这两个向量之间的角度。

- Jack_111

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似乎更像是数学问题而不是编程问题。 - Dennis Jaheruddin

根据您使用的编程语言，您应该添加括号以确保在除法之前计算乘积。如果按从左到右的顺序计算，这将是不正确的。 - Teepeemm

Answer 1

根据这个链接，这似乎是最稳定的解决方案：

atan2(norm(cross(a,b)), dot(a,b))

- Dennis Jaheruddin

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这就是我感到困惑的原因，我不知道哪一个是正确的，也不知道为什么。 - Jack_111

只需通过我提供的链接阅读更多。理论上它们都是正确的，但在实践中，这个方法被认为提供了更稳定的结果（而使用acos的替代方法计算速度稍快）。 - Dennis Jaheruddin

Answer 2

有很多选择：

a1 = atan2(norm(cross(v1,v2)), dot(v1,v2))
a2 = acos(dot(v1, v2) / (norm(v1) * norm(v2)))
a3 = acos(dot(v1 / norm(v1), v2 / norm(v2)))
a4 = subspace(v1,v2)

以下是此mathworks线程中的所有公式。据说a3最稳定，但我不知道为什么。

对于存储在矩阵列上的多个向量，可以使用以下代码计算角度：

% Calculate the angle between V (d,N) and v1 (d,1)
% d = dimensions. N = number of vectors
% atan2(norm(cross(V,v2)), dot(V,v2))
c = bsxfun(@cross,V,v2);
d = sum(bsxfun(@times,V,v2),1);%dot
angles = atan2(sqrt(sum(c.^2,1)),d)*180/pi;

- Pedro77

Answer 3

传统方法获取两个向量之间的夹角（即arccos(dot(u, v) / (norm(u) * norm(v)))，如其他答案中所示）在几个边角情况下存在数字不稳定性。以下代码适用于n维和所有边角情况（它不检查长度为零的向量，但很容易添加）。请参见下面的注释。

% Get angle between two vectors
function a = angle_btw(v1, v2)

    % Returns true if the value of the sign of x is negative, otherwise false.
    signbit = @(x) x < 0;

    u1 = v1 / norm(v1);
    u2 = v2 / norm(v2);

    y = u1 - u2;
    x = u1 + u2;

    a0 = 2 * atan(norm(y) / norm(x));

    if not(signbit(a0) || signbit(pi - a0))
        a = a0;
    elseif signbit(a0)
        a = 0.0;
    else
        a = pi;
    end;

end

这段代码是根据Jeffrey Sarnoff（MIT许可证）的Julia实现修改而来，其本身基于W. Kahan教授（第15页）的这些笔记。

- faken

Answer 4

该函数应返回以弧度为单位的角度。

function [ alpharad ] = anglevec( veca, vecb )
% Calculate angle between two vectors
alpharad = acos(dot(veca, vecb) / sqrt( dot(veca, veca) * dot(vecb, vecb)));
end

anglevec([1 1 0],[0 1 0])/(2 * pi/360) 
>> 45.00

- Jonas Stein

Answer 5

您可以使用点运算符计算VdotB，并且可以更快地处理任意长度的向量，具体方法如下：

VdotB = sum(V(:).*B(:));

此外，正如评论中所提到的，Matlab有dot函数可以直接计算内积。

除此之外，公式本身就是这样的，你所做的是正确的。

- Marc Claesen

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如果您想要简洁，至少建议使用 V*B'。 - Dennis Jaheruddin

你是否有特别的原因避免使用内在的 dot 函数？ - High Performance Mark

@HighPerformanceMark 除了忘记它的存在之外，没有其他的。 - Marc Claesen

没有任何原因，点函数很好用，只是我像这样写问题。 - Jack_111

Answer 6

Dennis Jaheruddin的解决方案 对于3D向量非常好用，对于更高维度的向量，我建议使用：

acos(min(max(dot(a,b)/sqrt(dot(a,a)*dot(b,b)),-1),1))

这个修复了数值问题，可以将acos的参数调整到接近1或-1。然而，当其中一个向量是零向量时，仍然存在问题。这种方法只需要3*N+1次乘法和1次平方根运算。但是，它还需要2次比较，而atan方法不需要。

- kvantour