平面与点之间的有向距离

Question

我找不到一种一致的方法来计算点和平面之间的有符号距离。如果给定由一个点和一个法向量定义的平面，我该如何计算这个距离？

struct Plane
{
    Vec3 point;
    Vec3 normal;
} 

- Justin Meiners

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为什么dist = dotProduct（dif，dif）？距离应该是：d（P，*B）; ?? - Pavan

d(p,b) 简单地调用 this = norm(sqrt(dot(p - b, p - b))); - Justin Meiners

所以我的代码做了同样的事情。 - Justin Meiners

有sqrt在里面，怎么可能是负数呢？ - Justin Meiners

一个数的平方根可以是正数或负数... - Žarko Tomičić

@ŽarkoTomičić 在这种情况下，对于R^n中的所有向量，dot(a, a) >= 0。（请注意，此问题也已有12年历史）。 - Justin Meiners

Answer 1

你让事情变得太复杂了。如果你的法线已经被标准化，你只需要这样做：

float dist = dotProduct(p.normal, (vectorSubtract(point, p.point)));

- Beta

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抱歉，我无法理解点积如何能够产生“p.normal”和“point - p.point”之间的距离。您能否请解释一下（也许使用图片）？在我的情况下，“p.normal =（1,0,0）”，而“point - p.point =（-200,0,0）”。 - Bla...

@user26409021：这个想法是找到point和p之间的有符号距离。在你的情况下，你认为它是多少？我认为是-200。 - Beta

是的，我知道它给出了-200的距离。那么如果我说通过使用dotProduct我们可以找到两点之间的距离，这样说是否正确？ - Bla...

@user26409021：是的，p 和 q 之间的距离是 sqrt((p-q).(p-q))。 - Beta

这个方法有效的一个解释是，你正在计算从平面上的任意点到该点的向量; d = point - p.point。然后我们将 d 投影到法线上。投影公式为 p=dot(d,n)/||n||^2*n={n is unit}=dot(d,n)*n。由于 n 是单位向量，因此该向量的有符号长度为 dot(d,n)。 - Alexander Torstling

Answer 2

对于那些好奇Beta发布的点积公式是如何推导出来的人，这里有一个可视化证明：

           N        Q
           ^      / | 
           |    /   | d
           |  /     | 
           |/       |
---------- P -------+------ > plane

d是Q点到平面的有向距离

P是位于平面上的已知点。

N是垂直于P点处平面的法向单位向量。

为了找到d，我们将d移动到P和N所在的位置。

           N
           ^
           |
           |
           +--------Q
           |      / 
         d |    /   
           |θ /     
           |/       
---------- P -------------- > plane

使用余弦函数

cos(θ) = adjacent / hypotenuse
cos(θ) = d / |PQ|                -- |PQ| is length of (Q-P)
     d = |PQ| x cos(θ)           -- Equation 1

使用以下点积公式：

a · b = |a| × |b| × cos(θ)

我们推导。

    N . (Q-P) = |N| x |PQ| x cos(θ)
    N . (Q-P) = 1 x |PQ| x cos(θ)    -- |N| is 1 because unit vector
|PQ| x cos(θ) = N . (Q-P)            -- Equation 2

用方程1替换方程2的左侧

d = N . (Q-P)

- Andrew Lim