在单子范畴上，什么是函数子？

Question

注意，这个问题不是关于“自函子范畴中的幺半群”的。它也不是直接涉及到Functor（Monad始终是Functor，但这个问题主要关注于monad transformers）。

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docs 中关于 Haskell 的 SelectT monad transformer 的说明是：

SelectT 不是单子范畴上的函子，许多操作不能通过它进行提升。

1. 什么是单子范畴？该范畴中的箭头是什么？
2. 为什么一些单子变换器在单子范畴上是函子（例如 MaybeT、RWST 等），但有些不是（例如 ContT、SelectT）？
3. 从编程角度来看，在单子范畴上成为函子有什么好处？作为库的使用者，我应该关心什么？

- fghzxm

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我不熟悉范畴论，但也许这意味着SelectT单子不仅仅是其基本单子的“包装器”？将IO String转换为MaybeT IO String很容易，但无法将IO String转换为SelectT <任何类型> IO String。 - user253751

由于单子是一个函子，箭头将会是自然变换。 - chepner

对于其中一些子问题，您可能会发现查看Control.Monad.Morph文档很有用。 - duplode

Answer 1

1. “单子范畴”是指哪个类别？该类别中的箭头是什么？

在这个类别中，对象是单子（monad），即具有类型 T，其中 T 的类型为 Type -> Type，并且具有 Monad 实例。箭头 A -> B 是它们底层函子之间的“自然变换”（natural transformations），通常在 Haskell 中用类型为 forall x. A x -> B x 的函数表示（尽管严格来说，参数性比自然性更强）。

在 mmorph 包中有这种类别的实现。

这个类别中的初始对象是 Identity，因为对于任何单子 T，都存在唯一一个自然变换 forall x. Identity x -> T x。双向地，我认为最终对象是 Const ()。

2. 为什么一些单子变换器是单子范畴上的函子（例如 MaybeT、RWST 等），而另一些则不是（例如 ContT、SelectT）？

这个类别中的函子需要一个提升后的 fmap。

fmap'
  :: forall m n. (Monad m, Monad n)
  => (forall x. m x -> n x) -> forall x. T m x -> T n x

无法对于ContT 和 SelectT 实现一般性的操作。我不确定具体原因，但似乎与方差有关：我们试图实现一个协变的函子，但 ContT 和 SelectT 在其基础单子中是逆变的，例如在 ContT r m a 中的 (a -> m r) -> m r 中，m 既出现在正数项也出现在负数项中。

从编程角度来看，作为一个范畴上的单子函子有什么好处？作为该库的使用者，我为什么要关心它呢？

如果你有一种一般方法来在单子 n 中“运行”单子 m，你不能将其简单地扩展到 ContT 或 SelectT 上；你只能使用更受限制的类似以下这样的映射操作：

mapSelectT :: (m a -> m a) -> SelectT r m a -> SelectT r m a
mapContT   :: (m r -> m r) -> ContT   r m a -> ContT   r m a

当基础的monad和结果类型已经确定时，你就不能随意在使用这些转换器的堆栈中提升操作。

- Jon Purdy

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那么实际上它只是函子范畴，限制为那些单子函子？我猜到了，但不确定。 - leftaroundabout

@leftaroundabout：那似乎是人们通常使用这个术语的方式，没错。我当然可以想象更奇特的东西也被称为这个名字。 - Jon Purdy

如果一个单子变换器不是函子，那么该单子就不能在单子堆栈的任意位置使用，因为你无法将其操作提升到堆栈中。然后，您只能将该单子放在堆栈的深处。请注意，涉及 IO 的所有单子堆栈都将 IO 放在堆栈的深处；这是因为 IO 实际上没有变换器。相同的限制也适用于 Cont、Select 和密度单子，因为它们的变换器没有 hoist 并且不是函子。 - winitzki