我遇到了一个看起来像是单子但具有单侧逆元和其他属性的结构。我不确定这个结构的哪些属性是必要的，哪些是偶然的，因此在我的描述中我将遵循一个简单的例子。我的基本类型是
a，由排序字符串组成（例如"aacdee"但不包括"abca"），以及从a到List单子M a。这个单子定义了pure: a -> M a、fmap: (a -> a) -> M a -> M a和bind: (a -> M a) -> M a -> M a。现在我定义了extract: M a -> a，它接受一个字符串列表，将它们连接起来并对结果进行排序。这是pure的一个左逆元，即extract . pure = id在a上成立，但不是一个右逆元。我还想定义extend: (M a -> a) -> M a -> M a，使得extract . (extend f) = f对于所有的f: M a -> a成立。虽然可以定义extend f = pure . f，但我不想这样做。例如，如果f是将每个字符替换为字母表中的下一个字符，然后连接并排序的函数，我希望extend f只是用下一个字符替换每个字符。类似地，如果f从第一个字符串中删除所有的"a"，第二个字符串中删除所有的"b"等等，则对于一个不那么琐碎的例子，把f看作一个函数，它首先取第一个字符串，然后如果第二个字符串比第一个字符串长，在第一个字符串的末尾扩展最后几个元素。例如，f ["ab", "c", "def"] = "abf"。在这种情况下，我希望extend f只过滤每个字符串，留下只有会对结果产生贡献的字母，例如，(extend f) ["ab", "c", "def"] = ["ab", "", "f"]。所有这些的背后思想是，在M a中可以针对许多类型的f进行并行优化，我想将extend f定义为许多特定情况的优化实现，并在未优化的情况下返回到extend f = pure f。
我的extend函数不满足共函子的公理，但至少满足以下条件（或非常相似的条件，我不能完全确定结合性）：
(extend f) . pure = pure . f . pure，即在单个字符串上，f和extend f基本相同，extend (extract . (fmap h)) = fmap h，即如果g = extract . (fmap h)分别作用于每个字符串，则extend g也是如此，(extend f) . (extend g) = extend (f . pure . g)，即结合律，或者它的一个较弱形式。
我的问题。这是一种众所周知的结构吗？ 它有任何奇特有趣的属性吗？
M a中的x，extract ((extend f) x) = f x。我现在已经在问题中添加了函数组合。 - AndreA