从范畴论的角度来看，什么是应用函子定义？

Question

我能够将范畴论中Functor的定义映射到Haskell定义中，具体方法如下：由于Hask中的对象是类型，所以函子F

• 通过将每个类型a映射到新类型F a，粗略地说，将"F"添加到其前面。
• 使用fmap :: (a -> b) -> (f a -> f b)，将Hask的每个态射a -> b映射到新的态射F a -> F b。

到这里为止都很好。现在我来到了Applicative，但在教材中找不到这种概念的提及。看了看它给Functor新增的内容ap :: f (a -> b) -> f a -> f b，我试图自己想出一个定义。

首先，我注意到由于(->)也是一种类型，因此Hask中的态射也是它的对象。考虑到这一点，我建议应用函子是一种函子，也可以将源类别的“箭头”对象映射到目标类别的态射中。

这个直觉正确吗？您能否提供更加正式和严谨的定义？

- arrowd

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http://cstheory.stackexchange.com/questions/12412/explaining-applicative-functor-in-categorical-terms-monoidal-functors - n. m.

Answer 1

理解应用函子的关键是找出它们所保留的结构。

常规函子保留基本的范畴结构：它们映射范畴之间的对象和态射，并保持范畴的定律（结合律和单位元）。但是，一个范畴可能具有更多的结构。例如，它可以允许定义类似于态射但需要多个参数的映射。这些映射由柯里化来定义：例如，两个参数的函数被定义为返回另一个函数的一个参数函数。如果您可以定义表示函数类型的对象，则可以实现此目标。通常，该对象称为指数（在Haskell中，它只是类型b->c）。然后我们可以从一个对象到指数具有态射，并将其称为二元态射。

Haskell中应用函子的传统定义基于将多个参数的函数进行映射的想法。但是，存在一种沿不同边界拆分多参数函数的等效定义。您可以将这样的函数视为将积（在Haskell中为一对）映射到另一种类型（在此处为c）。

a -> (b -> c)  ~  (a, b) -> c

这使我们可以将applicative functors视为保留乘积的functors。但是，乘积只是所谓的单调结构的一个例子。

一般来说，单调范畴是指配备有张量积和单位对象的范畴。在Haskell中，例如笛卡尔积（a pair）和单位类型()。然而，请注意，单调律（结合律和单位律）仅在同构意义下有效。例如：

(a, ())  ~  a

一个应用函子可以被定义为保留单调结构的函子。特别是，它应该保留单位元和乘积。无论我们在应用函子之前还是之后进行“乘法”，结果都应该是同构的。

然而，我们并不真正需要一个完整的单调函子。我们只需要两个态射（而不是同构）——一个用于乘法，一个用于单位元。这样一个仅部分保留单调结构的函子被称为松散单调函子。因此，另一种定义是：

class Functor f => Monoidal f where
  unit :: f ()
  (**) :: f a -> f b -> f (a, b)

很容易证明Monoidal等同于Applicative。例如，我们可以从unit得到pure，反之亦然：

pure x = fmap (const x) unit
unit = pure ()

应用定律仅源于保留幺半律（结合律和单位元律）。

在范畴论中，保留单拓扑结构与张量强度相关，因此适用函子也称为强松散单拓扑函子。但是，在Hask中，每个函子对于乘积都有规范强度，所以这一属性对定义没有任何添加。

如果您熟悉将单子定义为自函子范畴中的单拓扑，您可能会想知道应用程序类似地是自函子范畴中的单子，其中张量积为Day卷积。但这更难解释。

- Bartosz Milewski

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这个“strength”是什么东西？ - dfeuer

是的，如果您能在此处添加有关“strength”的含义的一些说明，那么将会更加清晰；特别是左边about的答案链接到https://en.wikipedia.org/wiki/Monoidal_functor，该页面似乎定义了“强莫诺函子”为“假定某些约束条件的莫诺函子”，而“松散莫诺函子”则意味着“没有额外的假设”，因此在这种术语中，“强松散莫诺函子”似乎没有意义。 - Ben

我个人更喜欢将applicative functor称为“闭合函子”，而不是单纯的单调函子。它们是单纯单调的这一事实是巧合，主要是由于指数的保留所迫使的，这就是为什么“单调”编码方式感觉如此混乱的原因，而我们使用的(<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b组合器恰好就是指数映射！从另一个角度来看，Applicative可以被视为相对于（协变）Day卷积的幺半对象。这种观点的好处在于阐明了找到逆变形式的Applicative的路径。 - Edward Kmett

当我将“(**)”在脑海中转换为“(f a, f b) -> f (a, b)”时，这个概念对我来说更加合理。我不明白为什么你一开始没有用这种方式来表达它。 - arrowd

实际上，还有一种可能更“深入”的变体是 ((a,b)->c) -> (f a,f b)->f c，这反映了函子将一个范畴的单调结构转换为另一个范畴的单调结构（尽管这两个范畴在此处都是 Hask 范畴）。 - leftaroundabout

(**) is Haskell's liftA2 which is a second possible minimal definition of Applicative together with pure - oquechy

Answer 2

你是对的，Applicative比Functor或者Monad更加难以直接理解。但本质上，它是幺半范畴的类：

class Functor f => Monoidal f where
  pureUnit :: f ()
  fzip :: f a -> f b -> f (a,b)

从那里，您可以在Hask中定义 -

pure x = fmap (const x) pureUnit

和

fs <*> xs = fmap (uncurry ($)) $ fzip fs xs

参见此答案，了解Applicative和Monoidal确实是等价的完整证明。

- leftaroundabout