我一直在想如何解决这个问题。
我有一张查找表，可以返回网格上各点 (x,z) 的高度值。例如，在图1中，我可以计算出 A、B、C 和 D 的高度。但是，我正在寻找一种方法来插值 P 点（已知 (x,z)）。查找表仅在网格间隔处具有值，并且 P 点位于这些间隔之间。我试图计算值 s 和t，使其满足：
A'(s) = A + s(C-A) B'(t) = B + t(P-B)
然后，我将使用这两个公式找到 B'(t) 与 A'(s) 的交点，以找到线段 A-C 上的点 X。通过这个点，我可以计算出在该点 X 的高度，并得出点P的高度。
我的问题在于如何计算 s 和 t 的值。
如果有任何帮助，将不胜感激。
u和v，以便 P = B + u(A-B) + v(C-B)
如果你把它写出来，你会发现这是一个带有未知数u和v的2x2线性系统，所以我猜你知道该怎么做。
哦，一旦你有了u和v，你就可以使用与上面完全相同的公式计算高度，只不过这次A,B,C,P将是这些点的高度。
根据您是要在ABC或ABCD之间插值，算法会有所不同。
如果您想要在ABC之间插值（我猜这是您想要做的，因为您画了对角线），那么您需要找到相对于ABC的x和y位置的P的重心坐标，然后将重心坐标应用到这些三角形的高度（z在此处被假定）组件。
考虑一个单位长度正方形的四个角落有点值，任意点(x,y)内插值可表示为:
f(x,y) = [ (1-y)f(0,0) + yf(0,1) ](1-x) + [ (1-y)f(1,0)+y(f(1,1)) ]x
f(x,y) = [ (L-y)f(0,0) + yf(0,L) ](L-x)/L^2 + [ (L-y)f(L,0)+y(f(L,L)) ]x/L^2
这是一个基于形状函数的明确示例。
考虑以下函数：
u1(x,z) = (x-x_b)/(x_c-x_b)
其中，u1(x_b,z_b) = u1(x_a,z_a) = 0（因为x_a = x_b），且u1(x_c,z_c) = u1(x_d,z_d) = 1
u2(x,z) = 1 - u1(x,z)
现在我们有u2(x_b,z_b) = u2(x_a,z_a) = 1，且u2(x_c,z_c) = u2(x_d,z_d) = 0
v1(x,z) = (z-z_b)/(z_a-z_b)
此函数满足v1(x_a,z_a) = v1(x_d,z_d) = 1，且v1(x_b,z_b) = v1(x_c,z_c) = 0
v2(x,z) = 1 - v1(x,z)
我们有v2(x_a,z_a) = v2(x_d,z_d) = 0，且v2(x_b,z_b) = v2(x_c,z_c) = 1
现在让我们按照以下方式构建新函数：
S_D(x,z) = u1(x,z) * v1(x,z)
我们得到 S_D(x_d, z_d) = 1，S_D(x_a, z_a) = S_D(x_b, z_b) = S_D(x_c, z_c) = 0
S_C(x,z) = u1(x,z) * v2(x,z)
我们得到 S_C(x_c, z_c) = 1，S_C(x_a, z_a) = S_C(x_b, z_b) = S_C(x_d, z_d) = 0
S_A(x,z) = u2(x,z) * v1(x,z)
我们得到 S_A(x_a, z_a) = 1，S_A(x_b, z_b) = S_A(x_c, z_c) = S_A(x_d, z_d) = 0
S_B(x,z) = u2(x,z) * v2(x,z)
我们得到 S_B(x_b, z_b) = 1，S_B(x_a, z_a) = S_B(x_c, z_c) = S_B(x_d, z_d) = 0
现在定义您的插值函数为
H(x,z) = h_a * S_A(x,z) + h_b * S_B(x,z) + h_c * S_C(x,z) + h_d * S_D(x,z)，
其中，h_a 是点 A 的高度，h_b 是点 B 的高度，以此类推。
您可以轻松验证 H 确实是一个插值函数：
H(x_a,z_a) = h_a，H(x_b,z_b) = h_b，H(x_c,z_c) = h_c 且 H(x_d,z_d) = h_d。
现在，为了近似计算 P 点的高度，您只需要在该点处求解 H 即可：
h_p = H(x_p, z_p)
函数 S 通常被称为“形状函数”。对于每个您希望插值值依赖于的节点，都存在一个这样的函数，在这种情况下，它们都满足 Kronecker 的 delta 性质（它们在一个节点上取值为一，在所有其他节点上取值为零）。
有许多方法可以为给定的节点集构建形状函数。如果我没记错的话，通过将1D形状函数相乘构建2D形状函数（就像我们在这个案例中所做的那样）被称为“函数的张量积”（在这种情况下很容易，因为网格是矩形的）。我们最终得到了四个函数（每个节点一个），它们都是{1、x、z、xz}的线性组合。
如果您想要仅使用三个点进行插值，则应该能够轻松地构建三个形状函数，作为{1、x、z}的线性组合，但您将失去网格提供的高度信息的25％，并且当h_b！= h_d时，您的插值器在矩形内部将不平滑。
