如何插值不描述函数的N个点

Question

假设我有n个点，也假设这些点是有序的，但不一定构成一个函数。如果这些点不描述一个函数，我想知道如何进行插值？例如，这是原始点集： 我希望得到以下结果：

请注意，仅使用样条曲线是不起作用的，因为这些点并不构成一个函数，而且使用贝塞尔曲线也不起作用，因为它们不能插值这些点（只能靠近它们）。我该怎么做才能得到这个效果？有没有相应的算法可供使用？

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只是一个更新。由于我参考的被接受答案的链接已经失效，所以我将分享一篇我根据那个写的文章，来帮助其他人解决这个问题。 在WPF中使用贝塞尔曲线插值2D点 最终算法的实时实现。Javascript

- Raúl Otaño

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这个平面上的曲线可以由一对函数 x(t) 和 y(t) 参数化。你是否已知道遍历这些点的顺序，还是需要确定呢？ - A. Webb

Answer 1

1. 有很多种类型的样条曲线，例如，Catmull-Rom样条曲线在这里适用。

2. Maxim Shemanarev提出了一种简单而有趣的贝塞尔曲线插值方法。

- MBo

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非常感谢，贝塞尔曲线插值对我来说效果非常好。我只做了一个小改动以适应开放曲线（而不是闭合曲线）。 - Raúl Otaño

Answer 2

这个答案解决了问题本身存在的一些概念性问题。我并不打算把它作为一个完整的答案。

首先，在给定的情况下，总是存在一个函数。在数学上，你可以将曲线描述为从实数到你的空间的函数，大致表示“时间”。这通常被称为曲线的参数表示法。我们将函数写成f(t) =( x(t), y(t) )，其中x(t)和y(t)是各自的参数函数。

问题在于，你拥有的函数可能不是你想要的函数。每个这种类型的问题，为了有希望得到答案，都必须明确说明哪些类别的函数是可接受的答案。仅仅说“函数”没有多少意义。问题缺少一个声明可接受的函数类别的陈述。虽然提到了样条曲线，但让我们继续探讨。在给定一类样条曲线（双三次样条曲线很常见）的情况下，通常只能适应样条曲线上的若干点，而不能适应任意数量的点。因此，你需要的是分段样条函数类别，也就是一系列的样条曲线。

一旦您有一个可接受的函数类，您还需要决定如何选择它们。您似乎所陈述的条件是您希望样条曲线通过给定点。这是一个常见的条件，但并不是唯一的条件。其他条件包括最小化曲率、最小化长度、最小化点到曲线的总距离等。拟合条件也是问题陈述的一部分。

总之，听起来像是您想要拟合一个分段样条曲线以通过一系列点。现在请查看其他答案，因为那就是它们回答的问题。

- eh9