Matlab 中带有一些系数约束的多项式拟合

Question

我有一些数据需要使用以下函数进行插值：

f(x) = ax4 + bx2 + c

其中 a > 0，b ≤ 0. 不幸的是，MATLAB 的polyfit不允许多项式系数有任何限制。有没有人知道是否有一个 MATLAB 函数可以实现这个功能？否则，我应该怎样实现它？

非常感谢您的帮助。

Elisabetta

- bettaberg

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为什么要用a>0而不是a>=0？假设你的优化结果为a=0，那么将其设置为a=\epsilon将会改变很少... - Shai

是的，你说得对，我之所以说a>0只是因为我的数据从来没有像一个接近0的函数一样“表现”，但我不一定要将其设置为约束条件。 - bettaberg

@bettaberg：我还是很想知道这些约束条件来自哪里...？你试图建模什么，为什么对参数施加约束？ - Rody Oldenhuis

Answer 1

你可以尝试使用fminsearch、fminunc手动定义你的目标函数。

或者，您可以稍微改变问题的定义：

f(x) = a2x4 - b2x2 + c

现在，新的a和b可以进行无约束优化，同时确保您要寻找的最终a和b是正数（负数的相应情况）。

- Shai

Answer 2

没有限制条件，问题可以被写成和解决为一个简单的线性系统：

% Your design matrix ([4 2 0] are the powers of the polynomial)
A = bsxfun(@power, your_X_data(:), [4 2 0]);

% Best estimate for the coefficients, [a b c], found by 
% solving A*[a b c]' = y in a least-squares sense
abc = A\your_Y_data(:)

如果受约束的模型确实支撑您的数据，那些限制当然会自动得到满足。例如，

iff指的是如果和仅当的逻辑运算符。

% some example factors
a = +23.9;
b = -15.75;
c = 4;

% Your model
f = @(x, F) F(1)*x.^4 + F(2)*x.^2 + F(3);

% generate some noisy XY data
x = -1:0.01:1;
y = f(x, [a b c]) + randn(size(x));

% Best unconstrained estimate a, b and c from the data
A = bsxfun(@power, x(:), [4 2 0]);
abc = A\y(:);

% Plot results
plot(x,y, 'b'), hold on
plot(x, f(x, abc), 'r')
xlabel('x (nodes)'), ylabel('y (data)')

但是，如果您对数据进行的约束与那个受限制的模型描述不准确，可能会出现问题：

% Note: same data, but flipped signs 
a = -23.9;
b = +15.75;
c = 4;

f = @(x, F) F(1)*x.^4 + F(2)*x.^2 + F(3);

% generate some noisy XY data
x = -1:0.01:1;
y = f(x, [a b c]) + randn(size(x));

% Estimate a, b and c from the data, Forcing a>0 and b<0
abc = fmincon(@(Y) sum((f(x,Y)-y).^2), [0 0 0], [-1 0 0; 0 +1 0; 0 0 0], zeros(3,1));

% Plot results
plot(x,y, 'b'), hold on
plot(x, f(x, abc), 'r')
xlabel('x (nodes)'), ylabel('y (data)')

这个解决方案中的a == 0表明模型选择错误。

如果a == 0的精确相等是一个问题：当然，如果您将a == eps(0)，则没有区别。从数值上讲，对于现实世界的数据，这并不会被注意到，但它仍然是非零的。

总之，我怀疑你的模型选择不合适，约束条件只是为了让一切正常运行，或者在尝试任何拟合之前应将数据进行无偏/重新缩放，或者某些类似的前提条件适用（我经常看到人们做这种事情，所以是的，我有点有偏见 :)

那么...这些约束背后的真正原因是什么？

- Rody Oldenhuis

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“说“既然我们假设了这个模型，约束条件应该被数据自动满足”有点天真了。” - Shai

@Shai：我确切地说了什么？那里有一个非常明确的IF... - Rody Oldenhuis

我可能应该重新措辞我的评论，但重点是：如果您的参数有限制条件，您应该使用它们，而不是希望它们会奇迹般地满足... - Shai

最重要的是：+1 为详细解决方案。 - Shai

是的，我明白 :) 其实我并不是一个专家级的Matlab用户，我找到的最佳多项式函数拟合方式是polyfit，它甚至不能将x和x^3的系数设置为0.. a>0和b<=0的事实直接来自我的数据，因此我不一定要将其作为约束条件，我想.. 如果我表达问题的方式有些模糊，那么很抱歉，并感谢您的帮助，现在一切都清楚了! :) - bettaberg

Answer 3

如果您拥有曲线拟合工具箱，那么fit可以使用“上限”和“下限”选项设置约束条件。您需要的是这样的内容。

M=fit(x, f, 'poly4', 'upper', [-inf, 0, -inf, 0, -inf], 'lower', [0, 0, 0, 0, -inf]);

请使用-inf来设置特定系数的无约束条件。

这将提供一个具有相关系数的cfit对象。您可以使用例如M.p1访问这些系数，以获取x ^ 4项。或者，您可以使用feval在任何要求的点处评估函数。

我认为您也可以使用优化工具箱中的lsqcurvefit进行类似的操作。

- nivag

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这是最快、最简单的方法来做到这一点。 - Kvothe