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使用Matplotlib的pyplot绘制分割两类的决策边界。

pythonnumpymatplotlib
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我需要一些提示来帮助我绘制决策边界，将数据分为两类。我使用Python NumPy创建了一些样本数据（来自高斯分布）。在这种情况下，每个数据点都是一个二维坐标，即一个由2行组成的1列向量。例如：

[ 1
  2 ]

假设我有两个类，class1和class2，我通过下面的代码（分配给变量x1_samples和x2_samples）创建了100个class1数据点和100个class2数据点。

mu_vec1 = np.array([0,0])
cov_mat1 = np.array([[2,0],[0,2]])
x1_samples = np.random.multivariate_normal(mu_vec1, cov_mat1, 100)
mu_vec1 = mu_vec1.reshape(1,2).T # to 1-col vector

mu_vec2 = np.array([1,2])
cov_mat2 = np.array([[1,0],[0,1]])
x2_samples = np.random.multivariate_normal(mu_vec2, cov_mat2, 100)
mu_vec2 = mu_vec2.reshape(1,2).T

当我为每个类绘制数据点时，它看起来像这样： enter image description here 现在，我想出了一个方程，用于将决策边界分离两个类，并希望将其添加到绘图中。但是，我不太确定如何绘制这个函数。
def decision_boundary(x_vec, mu_vec1, mu_vec2):
    g1 = (x_vec-mu_vec1).T.dot((x_vec-mu_vec1))
    g2 = 2*( (x_vec-mu_vec2).T.dot((x_vec-mu_vec2)) )
    return g1 - g2

我真的很感激任何帮助！

编辑: 如果我算对了的话，直觉上我会期望在绘制函数时决策边界看起来像这条红线...

输入图像描述

1
decision_boundary 函数中的 x_vec 应该是什么？你只是想绘制一个分隔两个类别的线吗？ - juniper-
1
我现在没有时间给出完整的答案，但是听起来你想要 decision_boundary 的0等高线。最简单的方法是在一个常规网格上评估函数并轮廓化结果。希望这能让你朝着正确的方向前进！ - Joe Kington
谢谢。是的，应该是一行，我在原问题中上传了一个示例图像。 - user2489252
11个回答
52
你的问题比简单的情节更加复杂：你需要绘制轮廓以最大化类间距离。幸运的是，这是一个经过深入研究的领域，特别是对于SVM机器学习。
最简单的方法是下载scikit-learn模块，它提供了许多很酷的方法来绘制边界: scikit-learn:支持向量机 代码:
# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np
import matplotlib
from matplotlib import pyplot as plt
import scipy
from sklearn import svm


mu_vec1 = np.array([0,0])
cov_mat1 = np.array([[2,0],[0,2]])
x1_samples = np.random.multivariate_normal(mu_vec1, cov_mat1, 100)
mu_vec1 = mu_vec1.reshape(1,2).T # to 1-col vector

mu_vec2 = np.array([1,2])
cov_mat2 = np.array([[1,0],[0,1]])
x2_samples = np.random.multivariate_normal(mu_vec2, cov_mat2, 100)
mu_vec2 = mu_vec2.reshape(1,2).T


fig = plt.figure()


plt.scatter(x1_samples[:,0],x1_samples[:,1], marker='+')
plt.scatter(x2_samples[:,0],x2_samples[:,1], c= 'green', marker='o')

X = np.concatenate((x1_samples,x2_samples), axis = 0)
Y = np.array([0]*100 + [1]*100)

C = 1.0  # SVM regularization parameter
clf = svm.SVC(kernel = 'linear',  gamma=0.7, C=C )
clf.fit(X, Y)

线性图

w = clf.coef_[0]
a = -w[0] / w[1]
xx = np.linspace(-5, 5)
yy = a * xx - (clf.intercept_[0]) / w[1]

plt.plot(xx, yy, 'k-')

enter image description here

多元线性图

C = 1.0  # SVM regularization parameter
clf = svm.SVC(kernel = 'rbf',  gamma=0.7, C=C )
clf.fit(X, Y)

h = .02  # step size in the mesh
# create a mesh to plot in
x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),
                     np.arange(y_min, y_max, h))


# Plot the decision boundary. For that, we will assign a color to each
# point in the mesh [x_min, m_max]x[y_min, y_max].
Z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])

# Put the result into a color plot
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contour(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Paired)

enter image description here

实施

如果你想自己实现它，你需要解决以下二次方程式：

boundary equation

维基百科文章

不幸的是，对于像你所绘制的非线性边界这样的问题，它是一个依赖于核技巧的困难问题，但没有明确的解决方案。

3
感谢您提供的详细回答。然而，根据发帖者的要求，SVM可能过于复杂。由于数据来自具有不同均值和协方差的两个正态分布，因此决策边界是二次的。 QDA分类器可能已经足够了（请参见http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.qda.QDA.html）。 - MB-F
请问您能否解释一下“线性图”部分中的斜率和截距计算？ - Michael Belvedersky
25

根据您编写的decision_boundary的方式，你需要使用Joe上面提到的contour函数。如果您只想要边界线，可以在0级别处绘制单个等高线：

f, ax = plt.subplots(figsize=(7, 7))
c1, c2 = "#3366AA", "#AA3333"
ax.scatter(*x1_samples.T, c=c1, s=40)
ax.scatter(*x2_samples.T, c=c2, marker="D", s=40)
x_vec = np.linspace(*ax.get_xlim())
ax.contour(x_vec, x_vec,
           decision_boundary(x_vec, mu_vec1, mu_vec2),
           levels=[0], cmap="Greys_r")

这就意味着：

enter image description here

决策边界是否应该不弯曲地绕过方差较低的类别？ - MB-F
是的，您是正确的。我回来分析地解决了这个方程。我会在下面发布答案。 - user2489252
16
那些是非常好的建议，非常感谢你的帮助！我最终解决了这个方程，并得到了以下解（我只是想将其发布以备将来参考：

enter image description here

# 2-category classification with random 2D-sample data 
# from a multivariate normal distribution 

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

def decision_boundary(x_1):
    """ Calculates the x_2 value for plotting the decision boundary."""
    return 4 - np.sqrt(-x_1**2 + 4*x_1 + 6 + np.log(16))

# Generating a Gaussion dataset:
# creating random vectors from the multivariate normal distribution 
# given mean and covariance 
mu_vec1 = np.array([0,0])
cov_mat1 = np.array([[2,0],[0,2]])
x1_samples = np.random.multivariate_normal(mu_vec1, cov_mat1, 100)
mu_vec1 = mu_vec1.reshape(1,2).T # to 1-col vector

mu_vec2 = np.array([1,2])
cov_mat2 = np.array([[1,0],[0,1]])
x2_samples = np.random.multivariate_normal(mu_vec2, cov_mat2, 100)
mu_vec2 = mu_vec2.reshape(1,2).T # to 1-col vector

# Main scatter plot and plot annotation
f, ax = plt.subplots(figsize=(7, 7))
ax.scatter(x1_samples[:,0], x1_samples[:,1], marker='o', color='green', s=40, alpha=0.5)
ax.scatter(x2_samples[:,0], x2_samples[:,1], marker='^', color='blue', s=40, alpha=0.5)
plt.legend(['Class1 (w1)', 'Class2 (w2)'], loc='upper right') 
plt.title('Densities of 2 classes with 25 bivariate random patterns each')
plt.ylabel('x2')
plt.xlabel('x1')
ftext = 'p(x|w1) ~ N(mu1=(0,0)^t, cov1=I)\np(x|w2) ~ N(mu2=(1,1)^t, cov2=I)'
plt.figtext(.15,.8, ftext, fontsize=11, ha='left')

# Adding decision boundary to plot
x_1 = np.arange(-5, 5, 0.1)
bound = decision_boundary(x_1)
plt.plot(x_1, bound, 'r--', lw=3)

x_vec = np.linspace(*ax.get_xlim())
x_1 = np.arange(0, 100, 0.05)

plt.show()

代码可以在这里找到。
编辑：
我还编写了一个方便的函数，用于绘制实现fit和predict方法的分类器的决策区域，例如scikit-learn中的分类器，如果无法通过分析找到解决方案，则非常有用。有关其工作原理的更详细描述可以在这里找到。 enter image description here
13
您可以自己为边界创建方程式：
其中，您需要找到位置x0和y0，以及半径方程的常数ai和bi。因此，您有2*（n+1）+2个变量。对于这种类型的问题，使用scipy.optimize.leastsq非常简单。
下面附上的代码构建了残差用于leastsq，惩罚超出边界的点。通过以下得到您问题的结果：
x, y = find_boundary(x2_samples[:,0], x2_samples[:,1], n)
ax.plot(x, y, '-k', lw=2.)

x, y = find_boundary(x1_samples[:,0], x1_samples[:,1], n)
ax.plot(x, y, '--k', lw=2.)

使用 n=1： enter image description here 使用 n=2： enter image description here 使用 n=5： enter image description here 使用 n=7： enter image description here 
import numpy as np
from numpy import sin, cos, pi
from scipy.optimize import leastsq

def find_boundary(x, y, n, plot_pts=1000):

    def sines(theta):
        ans = np.array([sin(i*theta)  for i in range(n+1)])
        return ans

    def cosines(theta):
        ans = np.array([cos(i*theta)  for i in range(n+1)])
        return ans

    def residual(params, x, y):
        x0 = params[0]
        y0 = params[1]
        c = params[2:]

        r_pts = ((x-x0)**2 + (y-y0)**2)**0.5

        thetas = np.arctan2((y-y0), (x-x0))
        m = np.vstack((sines(thetas), cosines(thetas))).T
        r_bound = m.dot(c)

        delta = r_pts - r_bound
        delta[delta>0] *= 10

        return delta

    # initial guess for x0 and y0
    x0 = x.mean()
    y0 = y.mean()

    params = np.zeros(2 + 2*(n+1))
    params[0] = x0
    params[1] = y0
    params[2:] += 1000

    popt, pcov = leastsq(residual, x0=params, args=(x, y),
                         ftol=1.e-12, xtol=1.e-12)

    thetas = np.linspace(0, 2*pi, plot_pts)
    m = np.vstack((sines(thetas), cosines(thetas))).T
    c = np.array(popt[2:])
    r_bound = m.dot(c)
    x_bound = popt[0] + r_bound*cos(thetas)
    y_bound = popt[1] + r_bound*sin(thetas)

    return x_bound, y_bound
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我喜欢使用mglearn库绘制决策边界。以下是A.Mueller的书《Python机器学习入门》中的一个例子:

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(10, 3))
for n_neighbors, ax in zip([1, 3, 9], axes):
    clf = KNeighborsClassifier(n_neighbors=n_neighbors).fit(X, y)
    mglearn.plots.plot_2d_separator(clf, X, fill=True, eps=0.5, ax=ax, alpha=.4)
    mglearn.discrete_scatter(X[:, 0], X[:, 1], y, ax=ax)
    ax.set_title("{} neighbor(s)".format(n_neighbors))
    ax.set_xlabel("feature 0")
    ax.set_ylabel("feature 1")
axes[0].legend(loc=3)

enter image description here

4
如果您想要使用scikit learn，可以按照以下方式编写您的代码：
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# read data
data = pd.read_csv('ex2data1.txt', header=None)
X = data[[0,1]].values
y = data[2]


# use LogisticRegression
log_reg = LogisticRegression()
log_reg.fit(X, y)

# Coefficient of the features in the decision function. (from theta 1 to theta n)
parameters = log_reg.coef_[0]
# Intercept (a.k.a. bias) added to the decision function. (theta 0)
parameter0 = log_reg.intercept_

# Plotting the decision boundary
fig = plt.figure(figsize=(10,7))
x_values = [np.min(X[:, 1] -5 ), np.max(X[:, 1] +5 )]
# calcul y values
y_values = np.dot((-1./parameters[1]), (np.dot(parameters[0],x_values) + parameter0))
colors=['red' if l==0 else 'blue' for l in y]
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], label='Logistics regression', color=colors)
plt.plot(x_values, y_values, label='Decision Boundary')
plt.show()

决策边界

详见：使用Scikit-learn构建逻辑回归模型

2

我刚刚用一种不同的方法（根据查找）解决了一个非常相似的问题，并希望在这里发布这个替代方案作为未来参考的答案：

   def discr_func(x, y, cov_mat, mu_vec):
        """
        Calculates the value of the discriminant function for a dx1 dimensional
        sample given covariance matrix and mean vector.

        Keyword arguments:
            x_vec: A dx1 dimensional numpy array representing the sample.
            cov_mat: numpy array of the covariance matrix.
            mu_vec: dx1 dimensional numpy array of the sample mean.

        Returns a float value as result of the discriminant function.

        """
        x_vec = np.array([[x],[y]])

        W_i = (-1/2) * np.linalg.inv(cov_mat)
        assert(W_i.shape[0] > 1 and W_i.shape[1] > 1), 'W_i must be a matrix'

        w_i = np.linalg.inv(cov_mat).dot(mu_vec)
        assert(w_i.shape[0] > 1 and w_i.shape[1] == 1), 'w_i must be a column vector'

        omega_i_p1 = (((-1/2) * (mu_vec).T).dot(np.linalg.inv(cov_mat))).dot(mu_vec)
        omega_i_p2 = (-1/2) * np.log(np.linalg.det(cov_mat))
        omega_i = omega_i_p1 - omega_i_p2
        assert(omega_i.shape == (1, 1)), 'omega_i must be a scalar'

        g = ((x_vec.T).dot(W_i)).dot(x_vec) + (w_i.T).dot(x_vec) + omega_i
        return float(g)

    #g1 = discr_func(x, y, cov_mat=cov_mat1, mu_vec=mu_vec_1)
    #g2 = discr_func(x, y, cov_mat=cov_mat2, mu_vec=mu_vec_2)

    x_est50 = list(np.arange(-6, 6, 0.1))
    y_est50 = []
    for i in x_est50:
        y_est50.append(scipy.optimize.bisect(lambda y: discr_func(i, y, cov_mat=cov_est_1, mu_vec=mu_est_1) - \
                          discr_func(i, y, cov_mat=cov_est_2, mu_vec=mu_est_2), -10,10))
    y_est50 = [float(i) for i in y_est50]

这是结果： （蓝色为二次情况，红色为线性情况（方差相等） http://i.imgur.com/T16awxM.png?1）
1

我使用了这本书上的方法 python-machine-learning-2nd.pdf URL

from matplotlib.colors import ListedColormap
import matplotlib.pyplot as plt


def plot_decision_regions(X, y, classifier, test_idx=None, resolution=0.02):

    # setup marker generator and color map
    markers = ('s', 'x', 'o', '^', 'v')
    colors = ('red', 'blue', 'lightgreen', 'gray', 'cyan')
    cmap = ListedColormap(colors[:len(np.unique(y))])

    # plot the decision surface
    x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
    x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
    xx1, xx2 = np.meshgrid(np.arange(x1_min, x1_max, resolution),
                           np.arange(x2_min, x2_max, resolution))
    Z = classifier.predict(np.array([xx1.ravel(), xx2.ravel()]).T)
    Z = Z.reshape(xx1.shape)
    plt.contourf(xx1, xx2, Z, alpha=0.3, cmap=cmap)
    plt.xlim(xx1.min(), xx1.max())
    plt.ylim(xx2.min(), xx2.max())

    for idx, cl in enumerate(np.unique(y)):
        plt.scatter(x=X[y == cl, 0], 
                    y=X[y == cl, 1],
                    alpha=0.8, 
                    c=colors[idx],
                    marker=markers[idx], 
                    label=cl, 
                    edgecolor='black')

    # highlight test samples
    if test_idx:
        # plot all samples
        X_test, y_test = X[test_idx, :], y[test_idx]

        plt.scatter(X_test[:, 0],
                    X_test[:, 1],
                    c='',
                    edgecolor='black',
                    alpha=1.0,
                    linewidth=1,
                    marker='o',
                    s=100, 
                    label='test set')

enter image description here

0

我知道这个问题已经得到了非常详尽的分析性答案。我只是想分享一个可能的“hack”解决方法。它很笨拙，但能完成任务。

首先建立一个二维区域的网格，然后基于分类器构建整个空间的类映射。随后检测行方向上做出的决策变化，并将边缘点存储在列表中并散点绘制这些点。

def disc(x):   # returns the class of the point based on location x = [x,y]
     temp = 0.5  + 0.5*np.sign(disc0(x)-disc1(x)) 
# disc0() and disc1() are the discriminant functions of the respective classes
     return 0*temp + 1*(1-temp) 

num = 200
a = np.linspace(-4,4,num)
b = np.linspace(-6,6,num)
X,Y = np.meshgrid(a,b)

def decColor(x,y):
     temp = np.zeros((num,num))
     print x.shape, np.size(x,axis=0)
     for l in range(num):
         for m in range(num):
             p = np.array([x[l,m],y[l,m]])
             #print p
             temp[l,m] = disc(p)
     return temp
boundColorMap = decColor(X,Y)

group = 0
boundary = []
for x in range(num):
    group = boundColorMap[x,0]
    for y in range(num):
        if boundColorMap[x,y]!=group:
            boundary.append([X[x,y],Y[x,y]])
            group = boundColorMap[x,y]  
boundary = np.array(boundary)

简单双变量高斯分类器的样本决策边界示例

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可以查看英文原文，
原文链接