计算两个三维三角形是否在同一平面上。

Question

我正在开发一个3D游戏引擎，需要计算两个三角形是否在同一平面上，以便相应地显示它。如何计算3D空间中三角形的角度？

计算表面法线并比较它们是否会给我两个等价的法线？

- Robin Rodricks

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你能简要解释一下你想要实现的渲染效果吗？ - tibur

任何在同一平面上的三角形都将被渲染成一个平面填充，因此我将计算哪些三角形可以合并为多边形（仅一次），然后绘制它们时会画出一个形状（每次渲染一个）。 - Robin Rodricks

Answer 1

为什么你想这样做？你预计要测试的三角形数量是多少？这对于实时渲染算法来说似乎有点复杂！

无论如何：

计算三角形的法线n。然后计算平面方程：a.x + b.y + c.z + d = 0，其中(a,b,c)为您的三角形法线，d = - dot(n,P)（P是您的三角形顶点之一）。对第二个三角形执行相同操作。

如果四个值abcd相等或相反（全部在一起），则两个平面相同。

- tibur

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如果你不是数学专家，为什么还要对我说“给我代码”？坦白地说，如果你在写一个 3D 引擎，你应该了解一些用于创建引擎的数学知识。否则，你只是复制粘贴别人的解决方案，而不知道它们是否真正解决了你想要实现的功能。 - Michael Todd

如果你被“向量”或“矩阵”这些词吓到了，那么你至少应该阅读一些三维数学教程，比如下面这个链接，否则你将永远无法成功地编写你的三维引擎。http://chortle.ccsu.edu/VectorLessons/vectorIndex.html - tibur

Answer 2

你所要求的在数值上是不可能的，舍入误差会使这样的测试完全无关紧要。

然而，你可能想测试“如果两个三角形在同一个平面内，容忍度范围内”。这非常困难，而且在这里，舍入误差很可能会破坏任何可能的方法。实际上，每当三角形变薄时，它们所在的平面存在很大的不确定性。

如果你真的想要，我可以向你指出一些文献（你最好查看CGAL库，并查看它们是否实现了与你的问题相关的内容）。任何东西都可能涉及任意精度浮点数、聪明的操作重新排序，并且总会导致不准确的结果。

因此，我强烈建议你为你的实际问题找到另一种方法。

如果你试图计算通过三个点的平面方程，然后测试另外三个点的话，舍入误差是一个（巨大的）问题。还有另一种解决方案。

你可能想计算六个点的惯性矩阵，对其进行对角化，并查看最小特征值是否在另外两个特征值的某些微小值范围内。这将意味着你的六个点实际上位于同一平面上，容忍度内。

- Alexandre C.

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这是否大致相当于主成分分析？ - tibur

@tibur：这确实是主成分分析。 - Alexandre C.