从三维平面上的三维点中获取二维坐标

Question

我有一个点（x，y，z），在平面ax+by+cz+d=0上定义的平面上。我试图弄清楚相对于平面的（x'，y'）是什么，其中它的起点是（x0，y0，z0），x'-轴由（1,0）定义，y'-轴由（0，1）定义。

我的主要目标是让鼠标点击一个表面，并知道特定表面上的2D坐标。我已经成功将射线与平面相交，这很容易。

顺便说一句，我正在使用DirectX 9-我对矩阵/向量数学的熟悉程度受到了通过D3DX库提供给我的API的限制。

我想到的一个想法是使用一个轴向量之间的角度，并找到距离原点的距离，然后使用简单的三角函数来计算x/y。但我不确定那是否真的是最理想的解决方案，或者是否能够解决手头的问题。

- Mike Weir

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坐标轴的定义不清楚，因为您使用二维坐标。您必须以某种方式将这些轴与您的三维环境相关联，或者指定您不关心这些轴相对于其周围环境的方向。 - MvG

@MvG 我认为我的目标的背景说明了我试图实现什么以及我的轴的相关性。 - Mike Weir

如果我已经明白了，就不会问了……既然你的评论也没有澄清，我担心我无法帮助解决这个问题。 - MvG

@MvG 抱歉，我想你可能错过了它。想象一下在三维平面上的二维图像。当我在屏幕上点击一个像素时，我想知道那个二维图像的x、y坐标。我已经在平面上有了三维坐标（我已经投射出光线并在平面上做了交点），我正在尝试从我已经与之相交的三维平面中获取图像的二维坐标。 - Mike Weir

Answer 1

由于在该平面上有一幅2D图像，您显然希望匹配其坐标系。为此，确定图片的单位向量。也就是说，对于任何x> 0的图片位置（x,0），取3d坐标B，并从中减去原点（0,0）的3d坐标A。所得的向量B-A将描述您图像的正x方向。对于y方向进行相同的操作。然后归一化这两个向量。这意味着将它们除以它们的长度，sqrt（x²+y²+z²），但D3Dx具有用于此的函数D3DXVec3Normalize。让我们称结果为3d矢量X和Y。要计算任何3D点p的x和y坐标，只需从原点A中减去p，即计算向量p-A。然后计算结果与单位向量X和Y之间的点积。这将给您两个数字：所需坐标。这是因为点积可用于计算正交投影。

将其翻译成D3Dx，应该看起来有些像以下内容。由于我从未使用过它，因此可能存在错误。

D3DXVECTOR3 *p;                  // input point
D3DXVECTOR3 a, b, c, ab, ac, ap; // helper vectors
FLOAT x, y;                      // output coordinates
imagePosTo3D(&a, 0, 0);          // a = origin of image
imagePosTo3D(&b, 1, 0);          // b = anywhere on positive x axis, perhaps a corner
imagePosTo3D(&c, 0, 1);          // c = anywhere on positive y axis, perhaps a corner
D3DXVec3Subtract(&ab, &b, &a);   // ab = b - a
D3DXVec3Subtract(&ac, &c, &a);   // ac = c - a
D3DXVec3Normalize(&ab, &ab);     // ab = ab / |ab|
D3DXVec3Normalize(&ac, &ac);     // ac = ac / |ac|
// the above has to be done once for the image, the code below for every p
D3DXVec3Subtract(&ap, p, &a);    // ap = p - a
x = D3DXVec3Dot(&ab, &ap);       // x = ab∙ap
y = D3DXVec3Dot(&ac, &ap);       // y = ac∙ap

- MvG

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正如我所提到的，我的数学技能可能不是你所期望的那样好...... 你能否提供更多具体的例子或信息？ - Mike Weir