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三维逆向(三角形)投影

math3dprojectionreverseprojection
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我有一个3D数学问题，但是我就是无法解决。

我有三个点的数据。这些数据是平面上的(2D)坐标，在3D空间中浮动。我还知道投影的(2D)坐标。这导致以下数据数组：

[[[x1,y1], [px1,py1],
 [[x2,y2], [px2,py2],
 [[x3,y3], [px3,py3]]

普通坐标（如x1等）表示平面上的坐标，其他坐标（如px1等）表示投影坐标。

我想做的是将一个新的2D坐标([x4,y4])投影出来。

.

我尝试过的方法：

当然，你需要有投影的眼光，所以我把它设置为[xe,ye，-1]。xe和ye是已知的。（这是照片参考，所以我只是把眼睛放在照片的中心。）

在眼睛下面，我放置了投影表面（z=0）。这给出了以下投影坐标：

[[[x1,y1], [px1,py1,0],
 [[x2,y2], [px2,py2,0],
 [[x3,y3], [px3,py3,0]]

我无法对平面上的坐标进行同样的操作，因为我对该平面一无所知。

我还想到可以制作从眼睛穿过投影坐标的线的参数化公式。对于线1，它应该是：

line1x = xe+(px1-xe)*t1
line1y = ye+(py1-ye)*t1
line1z = -1+t1 // = -1+(0--1)*t1

我还知道3D点之间的距离。这与2D相同。这意味着点1和点2之间的距离将是sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)。
我也知道任何时候线1和线2之间的距离。这是sqrt((line1x-line2x)^2+(line1y-line2y)^2+(line1z-line2z)^2)。
然而，我不太清楚该怎么做......甚至不确定这是否是正确的方法。
希望你能理解我想要做什么，并且你能帮助我。
提前感谢！
你的意思是给定三个点 (xn, yn)，它们被投影到平面上成为点 (pxn, pyn) - 你想要计算如何将一个新点 (x4, y4) 映射到该平面上？ - Joel Goodwin
你在平面上有三个点（xn，yn），它们被投影到投影平面（pxn，pyn）上。这也是一种中心（透视）投影，因此所有点都是通过从单个点发出的光线进行投影的。你想知道如何反向投影：也就是说，如果给定一个投影点（px4，py4），如何得到（x4，y4）？我不明白的是，你的原始点根本没有任何z坐标。为什么它们只有x/y - 你知道z坐标吗，还是这些x/y坐标在平面自己的坐标系内...？ - Joel Goodwin
“我也知道在三维空间中两点之间的距离，这与二维空间是相同的。” --> “这让我很震惊，你是怎么知道的？” - Cyril Gandon
@goodgai (xn,yn)坐标确实是飞机自身坐标系上的坐标。当我得到(x4,y4)时，我想要生成(px4,py4)。 - Pieter Jongsma
你可能想尝试使用像Cabri 3D这样的软件，网址是http://www.cabri.com/。 - Eric Bainville
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5个回答
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有一个名为Projection的函数，它可以将点转换为Projection([x1, y1]) = [px1, py1]，Projection([x2, y2]) = [px2, py2]，Projection([x3, y3]) = [px3, py3]。如果我理解正确，作者想知道如何找到这个Projection函数，以便他可以将[x4，y4]转换为[px4，py4]。

由于我们在处理平面，因此Projection函数如下：

Proj([ix, iy]) :
    return [ax*ix + bx*iy + cx,
            ay*iy + by*iy + cy];

使用这个方法，我们可以建立两个方程组来解决问题。
第一个方程组： x1 * ax + y1 * bx + cx = px1 x2 * ax + y2 * bx + cx = px2 x3 * ax + y3 * bx + cx = px3
解出ax、bx和cx的值。
ax = (px1 * (y3 - y2) - px2*y3 + px3*y2 + (px2 - px3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
bx = - (px1 * (x3 - x2) - px2*x3 + px3*x2 + (px2 - px3) * x1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
cx = (px1 * (x3*y2 - x2*y3) + x1 * (px2*y3 - px3*y2) + (px3*x2 - px2*x3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)

第二个方程组如下： x1 * ay + y1 * by + cy = py1
x2 * ay + y2 * by + cy = py2
x3 * ay + y3 * by + cy = py3

解出ay、by和cy，得到：

ay = (py1 * (y3 - y2) - py2*y3 + py3*y2 + (py2 - py3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
by = - (py1 * (x3 - x2) - py2*x3 + py3*x2 + (py2 - py3) * x1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)
cy = (py1 * (x3*y2 - x2*y3) + x1 * (py2*y3 - py3*y2) + (py3*x2 - py2*x3) * y1) /
     (x1 * (y3 - y2) - x2*y3 + x3*y2 + (x2 - x3) * y1)

注意：我使用了这个工具来解决方程组问题。
哇，感谢您详尽的回答，但是我认为这个解决方案有点靠不住，因为您使用的方法与投影并没有真正的关系。例如，没有眼睛。因此，我怀疑它是否能正常工作...尽管如此，我一定会尝试一下。我会告诉您它是否有效。谢谢！ - Pieter Jongsma
这个解决方案不会给你任何有关原三角形平面的信息，但它应该可以解决你的问题。 - Juozas Kontvainis
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写

(x4,y4,1) = A1*(x1,y1,1) + A2*(x2,y2,1) + A3*(x3,y3,1),

解决A1、A2、A3的问题。然后

(xp4,yp4) = A1*(px1,py1) + A2*(px2,py2) + A3*(px3,py3).

第一次编辑。

(A1，A2，A3)是线性系统Mat *（A1，A2，A3）=（x4，y4，1）的解。

      ( x1  x2  x3 )
Mat = ( y1  y2  y3 )
      (  1   1   1 )

这个问题可以用多种方法解决。例如使用Cramer's规则。

第二次编辑。

我插入的1不是Z坐标，而是输入坐标的齐次扩展（必须是欧几里得坐标）。 (A1，A2，A3)是由三角形顶点形成的基础上的齐次坐标。

第三次编辑。

3D平面和投影平面之间的对应关系是一个射影变换。它可以定义为在输入平面中操作齐次坐标的3x3矩阵T（x，y，1）（在您的坐标系中），并在投影平面中产生坐标（u，v，t）。然后px = u / t，py = v / t。

如果一个点在输入平面的三个点（不在同一条直线上）的基础上具有齐次坐标（A1，A2，A3），则其投影在投影基础上具有相同的齐次坐标。

一个小时前，这对我来说似乎非常清楚，但现在我开始怀疑：也许需要知道额外一对点才能有问题的单一解决方案......如果你能找到它，请看一下J.G.Semple和G.T.Kneebone的书《代数投影几何》。

那听起来可能是真的...但是我如何确定A1、A2和A3呢？ - Pieter Jongsma
我不明白你怎么能在没有眼睛的情况下解决这个问题...眼睛的位置会改变投影，不是吗？ - Pieter Jongsma
如果您将自己放置在初始平面的坐标系中，那么您就会失去投影平面。我认为这并不容易解决。 - Cyril Gandon
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@Scorpi0请阅读我在我的问题上发表的评论，我认为这会澄清事情（有点）。 - Pieter Jongsma
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我不太明白问题所在？您是想在三维空间中定位一个已知位于平面上（例如墙壁或地板）的对象，而您唯一拥有的输入是来自相机图像的3个点（您知道它们在三维空间中的距离）吗？

在这种情况下，您将有3个方程式，其中localCoordinates是对象空间中的点坐标（给出了点之间已知的距离），而world是对象在三维空间中的位置。

cameraCoordinates = world*view*projection*localCoordinates

这将产生一个包含6个未知数（在3D中的旋转和位置）和6个方程式（每个点2个）的方程系统。然而，它将是非线性的，因此您必须使用数值方法来解决它。尝试使用牛顿-拉普森方法。

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有点晚了，但是最高评分的答案没有考虑到问题的三维空间。我们面临的是透视投影问题，即在相机表面上（实际上是任意三个三维点）投影三个点（如投影几何学）。
对于这个问题，无法给出明确的解决方案（存在多个解决方案）。可以使用原始RANSAC paper中的P3P（Perspective-3-Point）算法解决给定3个三维点及其各自的2D透视投影的相机位置和姿态的一般问题，该算法提供最多四个可能的可行解（摆放在相机前面的点）。
给定相机姿态后，计算其他平面点的投影是微不足道的。
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可以查看英文原文，
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