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如何找到一个投影矩形的三维坐标？

geometrycameraprojection
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我遇到了一个主要是算法问题的困难。
假设已知空间中具有尺寸d1, d2的矩形ABCD，其在平面P上的投影形成梯形KLMN（通常情况下）。我知道投影矩阵H，以及可以找到梯形边缘点K、L、M、N的二维坐标。
问题如下：
如果我们已经知道矩形ABCD的几何特征（尺寸d1，d2），给定投影矩阵H和梯形边缘点的坐标，能否计算出点A、B、C、D的三维坐标？
我正在使用单个摄像头捕获简单矩形的图像，并希望将其重构到空间中。虽然可以采取多张图片并使用三角测量方法，但这种方法不被期望使用。
仅用投影矩阵是不够的，因为一条线可能会被投影到同一个点上。由于已知对象的尺寸，我相信该问题是可解的，且有有限解。
如果我弄清楚了如何进行此重建，我就知道如何编程。所以我想要一个算法/数学解答。
感谢任何想法！
5个回答
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我认为这个问题会产生一组可能的解决方案，至少在2D中是如此。对于2D情况：

           |   
-----------+-----------
          /|\
         / | \
        /  |  \
       /---+---\VP
      /    |    \
     /     |     \
    /      |      \
   /       |       \
  /        |   --   \
 /         |    |    \
/          |    |     \

在上图中，垂直线段和水平线段将投影到视图平面（VP）上的同一条线。如果按比例绘制出来，您会看到从眼睛通过未投影线的每个端点传递的两条射线。该线可以处于许多位置和旋转状态 - 想象一根棍子掉进一个锥体中，它可以卡在任意数量的位置。
因此，在2D空间中，有无限数量的解决方案在一个明确定义的集合内。
这是否适用于3D？
算法大致如下：
1. 反转投影矩阵 2. 计算通过矩形顶点的四条射线，有效地创建了一个倾斜的金字塔 3. 尝试将矩形放入金字塔中。这是棘手的部分，我正在尝试在金字塔中心想象矩形，以查看它们是否可以以多种方式适合其中之一。
编辑：如果您知道物体的距离，它将变得微不足道。
编辑V2：
好的，让Rn成为世界空间中的四条射线，即通过反转矩阵变换，以m.Rn表示，其中|Rn|为1。因此，矩形的四个点为：
P1 = aR1
P2 = bR2
P3 = cR3
P4 = dR4

其中P1..P4是矩形周围的点。通过一些向量数学，我们可以推导出四个方程式：

|aR1 - bR2| = d1
|cR3 - dR4| = d1
|aR1 - cR3| = d2
|bR2 - dR4| = d2

其中d1和d2是矩形的边长，a、b、c和d是未知数。

现在，可能没有解决上述问题的方法，这种情况下您需要将d1与d2交换。您可以将每行扩展为：

(a.R1x - b.R2x)2 + (a.R1y - b.R2y)2 + (a.R1z - b.R2z)2 = d12

其中R1？和R2？是射线1和2的x/y/z分量。请注意，您正在解决上述问题中的a和b，而不是x、y、z。

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你需要计算投影矩阵的逆矩阵。（您的矩阵不能是奇异的）
投影矩阵的逆矩阵并不足够，因为图像平面上的单个点将会“反投影”到一条射线上。因此，通过反向投影四个点K、L、M、N，我们只能得到四条线而不是矩形在空间中的确切位置。 - netclectic
@netclectic - 原始投影映射点到光线吗？不是的，反向也不会。当您构建投影矩阵时，您决定要投影到哪个“深度”。 - mbeckish
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我在这里会给出一个相当简短的答案，但我认为你会明白我的大致意思。我假设您有一个3x4的投影矩阵（P），因此您应该能够通过找到P的右零向量来获得相机中心：称其为C。

一旦您拥有了C，您就可以计算具有与向量CK、CL、CM和CN相同方向的光线（即C和K、L、M或N的叉积，例如CxK）

现在，您所要做的就是计算满足以下6个约束条件的3个点（u1、u2、u3）（任意假设KL和KN相邻且||KL||>= ||KN||如果d1 >= d2）：

  1. u1位于CK上，即u1.CK = 0
  2. u2位于CL上
  3. u3位于CN上
  4. ||u1-u2|| = d1
  5. ||u1-u3|| = d2
  6. (u1xu2).(u1xu3) = 0（正交性）

其中，A.B = 向量 A 和 B 的点积 ||A|| = A 的欧几里得范数 AxB = 向量 A 和 B 的叉积

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m_oLogin是正确的。如果我理解你的目标，相机拍摄的图像是平面P，对吗？如果是这样，那么你正在从二维图像中测量K、L、M、N。你需要投影矩阵的逆来重构A、B、C和D。

现在我以前从未做过这个，但我想你可能会遇到GPS在只有3个卫星修正时遇到的同样的问题 - 会有两个可能的解决方案，一个在P“后面”，一个在P“前面”，对吧？

0

投影矩阵封装了透视和比例，因此其逆矩阵将给出您所需的解决方案。我认为您假设它仅封装了透视，而您需要其他东西来选择正确的比例。

从世界空间投影到视图空间的过程会丢失信息，即深度（无限数量的3D点映射到同一2D点）。OP想知道如何重新计算丢失的数据。 - Skizz
投影点集不包含深度信息，但是投影矩阵包含 - 这就是为什么如果您知道原始投影矩阵，可以使用其逆矩阵返回到原始矩形的原因。 - mbeckish
投影矩阵不包含缩放信息。 - Jacob
@Jacob - 你是将矩形投影到特定目标平面上的多边形，而不是投影到从给定方向投射出来的“阴影”上。否则，你是如何得到投影形状的具体点K、L、M、N的呢？ - mbeckish
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