计算一个三维平面的斜率。

Question

我有一组表示不同平面特征的（X，Y，Z）点集。我需要使用法向量计算每个平面的斜率。 我认为斜率由每个平面法向量（NV）和想象中的水平平面NV之间的角度给出。假设我使用的平面方程是Ax+By+c=z。那么我猜我的平面的法向量是（a，b，-1）。对于我的平面方程，想象中的水平平面方程应该是什么？我认为水平平面的方程是z=c。因此，法向量是（0，0，-1）。这样正确吗？ 然后，我平面与水平平面之间的夹角为; cos^(-1)⁡〖(a.0+b.0+(-1).1)/(√(〖a1〗^2+〖b1〗^2+〖c1〗^2 ).√(0^2+0^2+1^2 ))〗

这正确吗？请评论并给我正确的方程式。

- niro

Answer 1

是的，大体上是正确的，但您在将角度代入表达式时犯了一些小错误。 角度是cos^{-1} [(a * 0 + b * 0 + (-1) * (-1) / (√{a^2 + b^2 + (-1)^2} * √{0^2+0^2+(-1)^2}] = cos^{-1}(1/√{a^2 + b^2 + 1})

是正确的。

- joriki

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感谢您的回复。希望进一步澄清一些事情。我如何知道我的法向量是朝外还是朝内。这个朝内或朝外的面向对于两个法向量都是相关的。我知道，结果会出现正负号。然后，斜率可能小于90度或大于90度。因此，请帮助我找到确切的情况。 - niro

你所发布的内容中没有“外部”或“内部”的概念，这些术语只有在处理物体表面时才有意义。如果您想计算平面特征的斜率而不参考任何物体，则根据定义，它们的法向量与垂直向量形成的正角度为0到pi/2（90°），在我的答案中，您会自动获得这样的角度，因为余弦值始终为正数。只有两个向量的相对方向很重要；您可以将它们都反转，使它们都具有+1的z分量，并获得相同的点积和余弦值。 - joriki