贝塞尔曲线的均匀离散化

Question

贝塞尔曲线的均匀离散化

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我需要将一个由四个点p0、p1、p2和p3定义的三阶Bezier曲线离散化，使得曲线上的点等距分布。曲线上的任意点p(t)（其中0 < t < 1）由以下公式给出：

point_t = (1 - t) * (1 - t) * (1 - t) * p0 + 3 * (1 - t) * (1 - t) * t * p1 + 3 * (1 - t) * t * t * p2 + t * t * t * p3;

我的第一个想法是将t = 0，t_1，... t_n，...，1离散化

这不起作用，因为通常情况下，我们不会得到离散点之间的均匀距离。

总之，我需要一个算法来离散化参数曲线，以便：

|| p(t_n) - p(t_n_+_1) || = d

我考虑使用Casteljau算法递归地将Bezier曲线减半，直到达到所需的精度，但这将需要大量的距离计算。

有什么办法可以通过分析来解决这个问题吗？

- Nic

你所寻找的也被称为“弧长参数化”。一般来说，如果你在“默认参数化”的固定间隔处细分贝塞尔曲线，得到的曲线段将不具有相同的弧长。这里有一种方法可以实现 http://pomax.github.io/bezierinfo/#tracing。 - hkrish

非常感谢 @hkrish！采样距离（t）和插值是解决问题的一种非常优雅的方式。我正在测试它。请随意将其添加为答案，以便我可以接受它。 - Nic

你是指常数直线（弦）还是曲线距离？ - user1196549

Yves 我的意思是曲线距离

- Nic

1个回答

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- hkrish · Accepted Answer

你所寻找的被称为“弧长参数化”。一般来说，如果按照默认参数化在固定间隔处细分贝塞尔曲线，则生成的曲线段将没有相同的弧长。这里是一种方法http://pomax.github.io/bezierinfo/#tracing。前段时间，我在玩一个需要点尽可能均匀分布的代码（曲率流）。这里是使用线性插值和单调三次样条插值从相同的积分样本集（我每个曲线使用20个样本，每个样本使用24点高斯-勒让德积分法进行评估）重新参数化立方体曲线的比较（轴上未正确标记! ;)）。

[请注意，这是与使用更多节点和采用作为“基本事实”的样本运行算法进行比较的结果。]

这里有一个演示, 使用单调三次插值重新参数化曲线。函数Curve.getLength是积分函数。