反向工程贝塞尔曲线

Question

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给定一些贝塞尔曲线上的样本点，能否找出这些点可能位于的曲线集合？

在我的具体应用中，曲线可能具有有限的端点集，因此我想生成可能的曲线集合，枚举所有这些曲线并挑选出可能以有效端点结束的所有曲线。

有些人要求更多细节。我有一组点，我知道它们在一个二次贝塞尔曲线上，我想计算出曲线的公式，并能够推断曲线上的新点。

- Martin

使用单个贝塞尔曲线拟合点...当然可以做到（与使用函数拟合点的方式相同 - 贝塞尔曲线“是”一个函数），您提供的链接已经讨论了使用贝塞尔曲线进行拟合。 - ShinTakezou

是的，但我想知道这些点可能位于哪些曲线上。从第一个点开始到最后一个点结束的曲线只是众多曲线中的一条。 - Martin

使用二次贝塞尔曲线时，您要么只有一条曲线，要么少于四个点通过该曲线。而且，如果您有超过四个独立点，则将无法找到一条单一的二次贝塞尔曲线，可以通过所有这些点。 - Unreason

1个回答

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- Unreason · Accepted Answer

贝塞尔曲线始终会经过起始和结束控制点。

如果曲线的阶数等于样本点的数量，则只会有一条曲线通过所有点（在正常情况下，所有点都不同且它们不位于比低阶曲线上）。

如果曲线的阶数小于样本点的数量，则通常情况下你将无法使曲线通过所有点（在正常情况下）。

如果曲线的阶数高于样本点的数量，则通常情况下你将能够绘制无限数量的曲线。

在wiki article中，你只会找到关于控制点的参考资料，但我仍然相信我记得上述属性是正确的，并且它们也适用于曲线上的点。

我认为你需要重新定义你的问题并明确定义你需要哪种类型的曲线（以及哪个阶数）。此外，正如乔治所指出的，你可能正在寻找路径 - 曲线的组合。

编辑：首先进行更正 - 曲线是由度数加一的控制点定义的（二次曲线需要三个）。控制点与曲线上的点不同 - 对于曲线上的三个点和二次曲线，您可以有无限多的解决方案（参见 this 二次曲线和四个点）

至于解决方案（但仍然假设您正在查看单个曲线）：

对于单个二次曲线的方程式，您可以得到

B(t) = (1-t)^2*P0 + 2*(1-t)*t*P1 + t^2*P2

以上大写字母是向量，P0对应起始控制点（第一个点），P2对应结束控制点（最后一个点），因此您仍需要找到P1。变量t是从0到1范围的标量。

如果使用2D曲线，则上述向量方程为曲线上每个点给出两个标量方程。

仍然有未知数t，因此您应该取2个更多的点（总共4个），这将为您提供4个未知数（第一个点的t，第二个点的t，P1的x和y，中间控制点）和4个方程式求解（每个样本点2个）。

使用您喜欢的数值方法解决它，您将获得原始曲线，其中包含这些点。

如果您仍然认为可以获得更多曲线，并且必须选择某些内容，则您不是在使用贝塞尔曲线，而是使用贝塞尔样条（在多条曲线连接在一起的意义上）。仍然适用同样的原则，如果您找到了一种从上述方程中解决单个曲线的方法（并且如果您有足够的点），则可以将问题分成实际贝塞尔曲线的n段，并按上述方式解决每个问题。

如果你发现你没有足够的点数，那么请再次查看链接的文章 - 你可能正在寻找最平滑的曲线，而文章中有一些建议可以帮助你达到这个目标，因为寻找精确解决方案（最短曲线/最平滑曲线）似乎相当复杂。