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简化高阶贝塞尔曲线

bezier
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我有一个控制点数组，代表了一个贝塞尔曲线。这可能是一个五阶或一百阶的贝塞尔曲线，或者在它们之间的任何阶数。我正在寻找一种将该贝塞尔曲线简化为多个三次贝塞尔曲线的方法。下面的插图展示了如何将十度曲线简化为三度曲线，但我想进一步简化它，将其简化为几个三次贝塞尔曲线以达到更好的逼近效果。

http://snag.gy/aHPjc.jpg

代码示例将非常有帮助。
一般而言：分段贝塞尔曲线不过是B样条曲线的一种。 - Christian
2个回答
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如mohsenmadi所指出的那样：一般情况下，这不是一件您可以做到而不需要提出自己的错误指标的事情。另一个想法是“将此曲线近似为较低阶曲线的序列”，这样我们就可以得到看起来更好、并且不需要真正的错误度量的东西。这有点像将曲线“平坦化”为直线，只不过我们要使用立方贝塞尔段，这样可以得到漂亮的曲线，并且在现代图形库方面保持所有内容的可操作性。
然后我们可以做的是：通过定期间隔采样曲线，然后将这些点通过Catmull-Rom算法进行运行，将“100阶曲线”分成多个立方贝塞尔的序列。这个过程非常简单：
1. 挑选一些等距的t值，如0、0.2、0.4、0.6、0.8和1，然后 2. 创建点集tvalues.map(t => getCoordinate(curve, t))。然后， 3. 构建虚拟起点和终点：通过从点1开始沿其切线向后移动，并通过从n开始按其切线向前移动来形成点0，形成点n+1。我们这样做，因为： 4. 从虚拟点0开始构建多段Catmull-Rom，并以虚拟点n+1结束。
让我们通过图片来演示一下。我们从一个11阶贝塞尔曲线开始： enter image description here 然后，让我们按照规则对其进行定期采样： enter image description here 我们创造一个第0个点和第n+1个点： enter image description here 然后，我们运行Catmull-Rom过程：
i = 0
e = points.length-4
curves = []
do {
  crset = points.subset(i, 4)
  curves.push(formCRCurve(crset))
} while(i++<e)

formCRCurve(points: p1, p2, p3, p4):
  d_start = vector(p2.x - p1.x, p2.y - p1.y)
  d_end = vector(p4.x - p3.x, p4.y - p3.y)
  return Curve(p2, d_start, d_end, p3)

我们可以看到为什么需要这些虚拟点：在给定四个点的情况下，我们可以使用一些来自第一和第四个点的切线信息，从第二个点到第三个点形成一个Catmull-Rom曲线。

当然，我们实际上想要的是贝塞尔曲线，而不是Catmull-Rom曲线，但是因为它们是相同类型的曲线，所以我们可以在两者之间自由转换，因此：

i = 0
e = points.length-4
bcurves = []
do {
  pointset = points.subset(i, 4)
  bcurves.push(formBezierCurve(pointset))
} while(i++<e)

formBezierCurve(points: p1, p2, p3, p4):
  return bezier(
    p2,
    p2 + (p3 - p1)/6
    p3 - (p4 - p2)/6
    p3
  )

因此，基于点{p1，p2，p3，p4}的Catmull-Rom曲线，通过点p2和p3，可以写成等效的Bezier曲线，该曲线使用起始/控制1 /控制2 /结束坐标p2，p2 + (p3-p1)/6，p3-(p4-p2)/6和p3。

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两个问题：**(1)** 第二个 formCurve 函数中的 d_start 和 d_end 是做什么的？我应该用第二个函数替换第一个函数，还是应该以某种方式同时使用它们？ (2) 我尝试实现这个，只使用了你最后一段提供的信息，但只有当我使用 p2 + (p3 - p1)/6 和 p3 - (p4 - p2)/6 时才得到合理的结果。请注意，我交换了 + 和 -。我犯了错误还是你犯了错误？ - mhelvens
好的，有很好的观点！让我更新答案。第二个函数替换了第一个函数（第一个函数产生Catmull-Rom曲线，第二个函数基于Catmull-Rom曲线产生Bezier曲线）。是的，我完全意外地使用了+/-符号。 - Mike 'Pomax' Kamermans
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首先，你必须知道没有逼近更低次数的曲线可以完全代替你！你注定会引入误差。问题在于：如何逼近使得原始曲线和结果曲线在视觉上相似？
假设你的原始曲线的次数为n。首先，对其进行细分。你可以无限次地对曲线进行细分而不引入任何误差。在这里，每个细分的次数仍为n，但几何复杂性和曲率率降低了很多。第二，降低每个细分的次数，现在它们是简单的形状，没有高曲率会引入逼近误差。
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