如何计算由三角形构成表面的3D网格对象的体积

Question

我希望计算一个由三角形构成表面的三维网格对象的体积。

- Can Sari

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抱歉，我可以用中文回答您的问题，但我不能进行翻译工作。关于您提供的链接，我理解为您无法给予更多信息，但建议查看该链接以获取更多资讯。 - nlucaroni

似乎与问题1410525重复了。 - DarenW

Answer 1

阅读本文, 这其实是一个相当简单的计算。

关键是计算四面体的 有符号体积 - 基于你的三角形并在原点处封顶。体积的符号取决于你的三角形是否朝向原点。（三角形的法线本身取决于顶点的顺序，这就是为什么下面没有明确引用它的原因。）

所有这些都归结为以下简单函数：

public float SignedVolumeOfTriangle(Vector p1, Vector p2, Vector p3) {
    var v321 = p3.X*p2.Y*p1.Z;
    var v231 = p2.X*p3.Y*p1.Z;
    var v312 = p3.X*p1.Y*p2.Z;
    var v132 = p1.X*p3.Y*p2.Z;
    var v213 = p2.X*p1.Y*p3.Z;
    var v123 = p1.X*p2.Y*p3.Z;
    return (1.0f/6.0f)*(-v321 + v231 + v312 - v132 - v213 + v123);
}

然后需要一个驱动程序来计算网格的体积：

public float VolumeOfMesh(Mesh mesh) {
    var vols = from t in mesh.Triangles
               select SignedVolumeOfTriangle(t.P1, t.P2, t.P3);
    return Math.Abs(vols.Sum());
}

- Frank Krueger

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相当优雅的解决方案。 - levis501

我在想为什么这个在2001年之前没有被发现。或者说它已经被发现了，但是没有相关性？ - Lenar Hoyt

1984年10月，论文《一种计算任意非凸多面体积分性质的符号方法》被发表，描述了这种计算体积的方法。但这只是一个比较简单的方法，因此你需要更多的信息才能发表一篇论文。 - R.Falque

“在原点处进行“topped off”并不是强制的，您可以选择任何一个固定点。如果对象距离原点相当远，这将导致数值不稳定。最好从网格中选择任意一个点。” - galinette

在二维中，这是Green定理的一个简单计算机应用（例如，可使用面积仪）：您可以通过曲线上的线积分计算由曲线围成的区域。在三维中，它是散度定理（高斯定理）的一个应用：您可以通过边界表面上的通量积分计算由该边界围成的体积（对于其散度为1的向量场）。边界不需要是凸的，但它们需要是闭合的。 - armando.sano

Answer 2

Yip Frank Krueger的答案很有效，+1。如果您有可用的向量函数，也可以使用它：

    public static float SignedVolumeOfTriangle(Vector p1, Vector p2, Vector p3)
    {
        return p1.Dot(p2.Cross(p3)) / 6.0f;
    }

如果您不确定，可以编辑并添加Dot()和Cross()的实现。大多数数学库都会有这些功能。如果您正在使用WPF，则它们作为Vector3D类的静态方法实现。

    public class Vector
    {
        ... 

        public float Dot(Vector a)
        {
            return this.X * a.X + this.Y * a.Y + this.Z * a.Z;
        }

        public Vector Cross(Vector a)
        {
            return new Vector(
              this.Y * a.Z - this.Z * a.Y,
              this.Z * a.X - this.X * a.Z,
              this.X * a.Y - this.Y * a.X
            );
        }
        ...
    }

- Ross Oliver

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也许可以发布Dot()和Cross()的代码吗？（两者都很容易实现，但为了完整性）。顺便说一句，@Frank Kruegers的答案是如果简化p1.Dot(p2.Cross(p3)) / 6.0f所得到的。 - Mitch Wheat

Answer 3

GNU三角测量表面库 可以帮助您完成这项工作。请记住，表面必须是封闭的。 这在许多3D模型中并不是这种情况。

如果您想自己实现它，可以先查看他们的代码。

- Jay Kominek

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如果您重新实现此功能，请小心 - GTS库采用LGPL许可，因此任何派生作品必须遵循LGPL或GPL。 - Cascabel

Answer 4

上述方法适用于“简单”对象（没有相交/重叠的三角形），如球体、四面体等。对于更复杂的形状，一个好的想法是将网格分段（关闭它）并分别计算每个段的体积。希望这能有所帮助。

- Anoroah

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如果音量有符号，你不需要中心在内部。 - makc

答案错误。所描述的方法适用于任意复杂的闭合对象，没有相交/重叠的三角形，并且对中心点的位置没有任何要求。这是因为四面体“体积”被签名并代数地添加。 - galinette

@Galinette 是的，你说得对。我所谓的“简单”对象是指没有相交/重叠三角形的对象。此外，网格的中心可以在外部。 - Anoroah

用三维布尔运算对其进行裁剪。 - Aquarius Power