多个符合幂律分布的变量进行标准化/缩放/归一化的正确方法，以便在线性组合中使用。

Question

我希望将社交网络图中节点的几个度量组合成一个单一的值，以便对节点进行排序：
入度 + 中介中心性 = 非正式权力指数
问题在于，入度和中介中心性是用不同的尺度来衡量的，例如0-15与0-35000，并且遵循幂律分布（至少肯定不是正态分布）
有没有好的方法来重新缩放这些变量，使得其中一个不会在决定非正式权力指数时占主导地位？
三种明显的方法是：

• 标准化变量（减去平均值并除以标准差）。这似乎会压缩分布，隐藏长尾中的值和接近峰值的值之间的巨大差异。
• 通过减去min(variable)并除以max(variable)将变量重新缩放为[0,1]范围内。这似乎更接近解决问题，因为它不会改变分布的形状，但也许它不会真正解决问题？特别是平均值将不同。
• 通过将每个值除以mean(variable)来使均值相等。这不会解决尺度差异，但也许平均值对于比较更重要？

还有其他想法吗？

- Jacob Rigby

Answer 1

您似乎对底层分布有很强的感觉。一种自然的缩放方法是用概率替换每个变量。或者，如果您的模型不完整，请选择一个近似实现这一目标的转换方法。如果无法实现该目标，则可以尝试以下相关方法：如果您有大量单变量数据可用于构建直方图（每个变量），则可以将每个变量转换为基于其是否在0-10％百分位数或10-20％百分位数... 90-100％百分位数的10分制。这些转换后的变量按照构造方式在1,2，...，10上具有均匀分布，您可以按任意方式组合它们。

- Owen

Answer 2

非常有趣的问题。这样的方法可行吗：

假设我们想将两个变量缩放到[-1,1]的范围内，以介数中心性为例，它的范围是0-35000。

1. 选择一个与变量范围相同数量级的大数字。例如，我们选择25000。
2. 在原始范围[0-35000]和新范围[-1,1]中创建25000个箱子。
3. 对于每个数字x-i，找出它所在的原始箱子编号B-i。
4. 找出B-i在[-1,1]范围内的范围。
5. 使用B-i在[-1,1]范围内的最大/最小值作为x-i的缩放版本。

这样可以保留幂律分布，同时将其缩小到[-1,1]的范围内，并且不会像(x-mean)/sd一样出现问题。

- user1489476

Answer 3

你可以将每个转换为百分比，然后将其应用于已知数量。然后使用新值的总和。

((1 - (in_degee / 15) * 2000) + ((1 - (betweenness_centrality / 35000) * 2000) = ?

（（1-（in_degee / 15）* 2000）+（（1-（betweenness_centrality / 35000）* 2000）=？

- Thad

---

这种方法不会和标准化方法有同样的问题吗？它会压缩分布，使得百分位数95和99看起来非常接近，尽管它们之间存在天壤之别（想一想比尔·盖茨的银行账户和我的！）！ - Jacob Rigby

这种方法将所有内容都放在一个百分比内。它不是基于数字偏离平均值的程度。但是，我可能对你的方法论不太清楚。2000是任意的。它越大，就可以创建更多独特的值。 - Thad

Answer 4

将值归一化到[0,1]，这将是我的简短答案建议，以将两个值组合起来，因为它将保持分布形状，正如您所提到的，并且应该解决组合值的问题。

如果两个变量的分布不同，这听起来很可能不会给您想要的东西，即每个变量在其给定分布中的综合度量。您必须想出一个指标来确定给定值在给定分布中的位置，这可以通过许多方式完成，其中之一是确定给定值距平均值多少个标准偏差，然后以某种方式组合这两个值以获得指数。（加法可能不再足够）

您必须弄清楚对于您正在查看的数据集来说最有意义的是什么。标准偏差对于您的应用程序可能毫无意义，但您需要查看与分布相关的统计量，并将其组合起来，而不是组合绝对值，无论是否归一化。

- mark

---

你的第二段似乎描述了标准化方法，其中你从原始度量值转换为该值距离平均值的标准偏差数。这一切似乎最适用于正态分布，而对其他分布效果不佳。 - Jacob Rigby

同意，正如我在第三段中指出的那样，您需要查看与您的数据集相关的统计测量，如果它们是幂分布，则包括方差、矩、偏度以及可能的峰度。 - mark