使用plotly（Python）在球面上绘制密度函数

Question

我想绘制一个实值函数 f(x,y,z)=a，其中 (x,y,z) 是球体上的一个三维点，a 是一个实数。我按照以下方式计算球面上点的笛卡尔坐标，但是我不知道如何在每个点上可视化 f 的值。

import plotly.graph_objects as go
import numpy as np

fig = go.Figure(layout=go.Layout(title=go.layout.Title(text=title), hovermode=False))

# Create mesh grid for spherical coordinates
phi, theta = np.mgrid[0.0:np.pi:100j, 0.0:2.0 * np.pi:100j]

# Get Cartesian mesh grid
x = np.sin(phi) * np.cos(theta)
y = np.sin(phi) * np.sin(theta)
z = np.cos(phi)

# Plot sphere surface
self.fig.add_surface(x=x, y=y, z=z, opacity=0.35)

fig.show()

我会想象/期望/喜欢一个像这样的可视化。

此外，我还以闭合形式计算了f的梯度（即对于每个(x,y,z)，我都计算了f的三维梯度）。是否有一种类似于上图所示的绘制此向量场的方法？

- nullgeppetto

Answer 1

这个答案并不完美，但希望足以让您建立起来。

对于球本身，我不知道在plotly中是否有任何“捷径”来做这样的事情，因此我的方法是手动创建一个球体网格。生成顶点很简单，例如像你所做的那样 - 稍微棘手的部分是找出三角形的顶点索引（这取决于顶点生成方案）。有各种算法可以平滑地完成这项工作（即生成没有“尖端”的球体），我只是为了演示而编写了一些粗略的代码。然后我们可以使用Mesh3d对象来显示球体以及强度和您选择的颜色映射：

N = 100  # Sphere resolution (both rings and segments, can be separated to different constants)
theta, z = np.meshgrid(np.linspace(-np.pi, np.pi, N), np.linspace(-1, 1, N))
r = np.sqrt(1 - z ** 2)
x = r * np.cos(theta)
y = r * np.sin(theta)
x = x.ravel()
y = y.ravel()
z = z.ravel()

# Triangle indices
indices = np.arange(N * (N - 1) - 1)
i1 = np.concatenate([indices, (indices // N + 1) * N + (indices + 1) % N])
i2 = np.concatenate([indices + N, indices // N * N + (indices + 1) % N])
i3 = np.concatenate([(indices // N + 1) * N + (indices + 1) % N, indices])

# Point intensity function
def f(x, y, z):
    return (np.cos(x * 2) + np.sin(y ** 2) + np.sin(z) + 3) / 6


fig = go.Figure(data=[
    go.Mesh3d(
        x=x,
        y=y,
        z=z,
        colorbar_title='f(x, y, z)',
        colorscale=[[0, 'gold'],
                    [0.5, 'mediumturquoise'],
                    [1, 'magenta']],
        intensity = f(x, y, z),
        i = i1,
        j = i2,
        k = i3,
        name='y',
        showscale=True
    )
])

fig.show()

这将产生以下交互式图表: 要添加向量场，您可以使用Cone plot; 这需要一些调整，因为当我只在与球体相同的x, y, z位置绘制锥体时，有些锥体会被球体部分或完全遮挡。因此，我生成了另一个半径略大的球体，并将锥体放置在那里。我还尝试了一些光照参数，使其像您示例中的黑色。完整代码如下:

N = 100  # Sphere resolution (both rings and segments, can be separated to different constants)
theta, z = np.meshgrid(np.linspace(-np.pi, np.pi, N), np.linspace(-1, 1, N))
r = np.sqrt(1 - z ** 2)
x = r * np.cos(theta)
y = r * np.sin(theta)
x = x.ravel()
y = y.ravel()
z = z.ravel()

# Triangle indices
indices = np.arange(N * (N - 1) - 1)
i1 = np.concatenate([indices, (indices // N + 1) * N + (indices + 1) % N])
i2 = np.concatenate([indices + N, indices // N * N + (indices + 1) % N])
i3 = np.concatenate([(indices // N + 1) * N + (indices + 1) % N, indices])

# Point intensity function
def f(x, y, z):
    return (np.cos(x * 2) + np.sin(y ** 2) + np.sin(z) + 3) / 6


# Vector field function
def grad_f(x, y, z):
    return np.stack([np.cos(3 * y + 5 * x),
                     np.sin(z * y),
                     np.cos(4 * x - 3 * y + z * 7)], axis=1)

# Second sphere for placing cones
N2 = 50  # Smaller resolution (again rings and segments combined)
R2 = 1.05  # Slightly larger radius
theta2, z2 = np.meshgrid(np.linspace(-np.pi, np.pi, N2), np.linspace(-R2, R2, N2))
r2 = np.sqrt(R2 ** 2 - z2 ** 2)
x2 = r2 * np.cos(theta2)
y2 = r2 * np.sin(theta2)
x2 = x2.ravel()
y2 = y2.ravel()
z2 = z2.ravel()

uvw = grad_f(x2, y2, z2)

fig = go.Figure(data=[
    go.Mesh3d(
        x=x,
        y=y,
        z=z,
        colorbar_title='f(x, y, z)',
        colorscale=[[0, 'gold'],
                    [0.5, 'mediumturquoise'],
                    [1, 'magenta']],
        intensity = f(x, y, z),
        i = i1,
        j = i2,
        k = i3,
        name='y',
        showscale=True
    ),
    go.Cone(
        x=x2, y=y2, z=z2, u=uvw[:, 0], v=uvw[:, 1], w=uvw[:, 2], sizemode='absolute', sizeref=2, anchor='tail',
        lighting_ambient=0, lighting_diffuse=0, opacity=.2
    )
])

fig.show()

并生成了如下图所示的结果：

希望这可以帮助您。显示有很多调整，当然还有更好的构建球体网格的方法（例如参见这篇文章），因此在这方面有很大的自由度（尽管需要一些工作成本）。

祝你好运！

- andersource