转换表面法向量和切向量

Question

根据Matt Pharr和Greg Humphreys的书Physically Based Rendering: From Theory to Implementation（链接为这里，p. 86-87)，表面切向量被转换为普通向量，使用变换矩阵M，但是表面法向量使用进行转换。

我想知道为什么缩放会使法线不正确，但不会影响切向量？为什么法线如此特殊？

请参见书中的图。 我曾读到过这样的法线变换需要保持法线和切线的正交性。但我想得到一些直观的解释。

- Temak

Answer 1

对于旋转（以及一般可以用正交矩阵描述的所有变换），我的直觉是满足。这意味着，因此对于这些类型的变换，处理并没有什么特殊之处。

一个简单的例子是使用非正交、对称矩阵的情况，它说明仅使用来转换法线是不够的，需要使用来转换法线，在对称情况下等于。

注意，这已经涵盖了相当多的变换。个人认为，不正交且不对称的变换本身并不直观，因此我倾向于采用数学解释，即必须保持正交性。由于这是表面法线的定义特性，我认为这个论点相当有说服力。也许把它写出来会使事情更清晰：

因此，书中的变换规则的优点在于它为您提供了您可以想到的所有变换的正确法线。

希望这有所帮助。

- spfrnd

Answer 2

理论上，法向量并不是真正的向量，它们最好被视为bivectors，只是在三维空间中向量和双线性形式都有三个分量，因此将它们识别为相同的。如果我们生活在一个四维世界中，我们就不会有这种困惑。在那里，向量将有4个分量，而双线性形式则有6个分量。

双线性形式和pseudovectors /轴向量之间存在微妙的区别。如果 i、j、k 是向量的基元素，则双线性形式具有基础 j ^ k、i ^ k 和 i ^ j，Hodge双线性映射一个集合到另一个集合，并将双线性形式映射到伪向量。双线性形式可以始终被视为两个其他向量的叉积。

如果您认为法向量总是由一些切向量对的叉积得出的，那么您可以通过首先转换这两个切向量然后取它们的叉积来找到法向量的变换。

让我们将问题中的图表想象成通过圆柱体的切片。在第一张图片中，当横截面为圆形时，两个切向量分别为(1/rt2, 1/rt2, 0)和(0,0,1)，其中rt2 = sqrt(2)。取叉积得到：

( 1/rt2 )    ( 0 )    (  1/rt2 )
( 1/rt2 ) X  ( 0 ) =  ( -1/rt2 )
(   0   )    ( 1 )    (   0    )

现在进行一个挤压操作 (x,y,z) -> (x, y/2, z)，切向量会转变为 (1/rt2, 1/(2 rt2), 0) 和 (0,0,1)。取叉积。

( 1/rt2     )    ( 0 )    (  1/(2 rt2) )
( 1/(2 rt2) ) X  ( 0 ) =  ( -1/rt2     )
(   0       )    ( 1 )    (   0        )

将其标准化后得到(1/√5，-2/√5，0)。

选择哪一对切向量并不重要，我们仍然会得到相同的结果。上面的计算有点冗长，需要找到一对合适的切向量。使用转置的逆矩阵更简单。

- Salix alba