透视投影，4个点。

Question

透视投影，4个点。

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我正在尝试实现透视投影。例如，我有一个给定大小的正方形，并知道其角落的坐标（A1..A4）。我有一张图像，在这个图像中，该正方形显示在某个特定位置。我知道它的位置以及显示正方形的角落B1..B4的坐标。我想找到一个转换矩阵M，将B-> A。

我遵循方法数学插图，第10章，并成功地转换了3个角。但是我无法找到正确转换所有4个角的矩阵...我按照第7页上的矩阵进行转换，但不能正确地转换所有4个点。

~

- Jakub M.

2个回答

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在数学堆栈交换中提供了一个更好的答案，可以解决8x8系统。 https://mathematica.stackexchange.com/questions/9244/solve-system-of-equations-related-to-perspective-projection

- Joe

网页内容由stack overflow 提供, 点击上面的

可以查看英文原文，
原文链接

- comingstorm · Accepted Answer

根据您的参考文献，表示一般投影变换的标准方法是通过加上一个w坐标（得到齐次坐标[x,y,w]），并使用3x3矩阵来转换你的（x,y）二维坐标。

从您的问题中不清楚您目前如何尝试使用您的点，但我怀疑存在一些困惑如何使用额外的坐标。数学上需要记住的是，整个齐次向量可以乘以任意非零比例因子(因为最后除以第三个坐标将取消比例因子)。然而，有时很难弄清这在实际意义上意味着什么...

对于这个问题，设置系统如下(我在这里将齐次坐标视为行向量，以匹配您的参考文献):

Find a 3x3 matrix T, such that:
  it maps each point b to corresponding point a:  a = b  T
  specifically:

     w' * [a_x a_y 1] = w * [b_x b_y 1] * [ T_xx T_xy T_xw ]
                                          [ T_yx T_yy T_yw ]
                                          [ T_wx T_wy T_ww ]

重点在于：你不能简单地将w和w'设为1。这是因为一个投影变换T并不一定会保持第三个坐标不变！（如果它确实如此，你可以完全跳过齐次部分，并且只使用三个点对来获得仿射变换……）

一种表达方式（可以轻松解决）是添加一个参数K = w' / w。然后，您可以将上述内容表示为线性系统，如下所示：

for each point b and corresponding point a,
  [a_x a_y 1] * K = [b_x b_y 1] * [ T_xx T_xy T_xw ]
                                  [ T_yx T_yy T_yw ]
                                  [ T_wx T_wy T_ww ]

请记住，所有的 a 和 b 值都是固定常数；您正在尝试解决 T 矩阵的九个元素。每对点会添加三个约束条件（来自上面的向量相等式）和一个附加参数（该方程的 K），总共有 4*3=12 个约束条件和 9+4=13 个参数。因此，我们在这里缺少一个约束条件...

需要额外的约束条件，因为矩阵 T 实际上具有任意缩放因子：它在同质坐标之间进行映射（所有同质坐标都会除以任意缩放因子），因此没有内在的方法来确定这个缩放因子。一种固定这个因子的方法是将 T_ww = 1 任意设置为一个值：

for each point pair (a, b):
  [a_x a_y 1] * K = [b_x b_y 1] * [ T_xx T_xy T_xw ]
                                  [ T_yx T_yy T_yw ]
                                  [ T_wx T_wy  1   ]

这将给您一个完全确定的线性系统：

  0  = b1_x*T_xx + b1_y*T_yx + 1*T_wx - a1_x*K1
  0  = b1_x*T_xy + b1_y*T_yy + 1*T_wy - a1_y*K1
-1*1 = b1_x*T_xw + b1_y*T_yw          -    1*K1

  0  = b2_x*T_xx + b2_y*T_yx + 1*T_wx - a2_x*K2
  0  = b2_x*T_xy + b2_y*T_yy + 1*T_wy - a2_y*K2
-1*1 = b2_x*T_xw + b2_y*T_yw          -    1*K2

  0  = b3_x*T_xx + b3_y*T_yx + 1*T_wx - a3_x*K3
  0  = b3_x*T_xy + b3_y*T_yy + 1*T_wy - a3_y*K3
-1*1 = b3_x*T_xw + b3_y*T_yw          -    1*K3

  0  = b4_x*T_xx + b4_y*T_yx + 1*T_wx - a4_x*K4
  0  = b4_x*T_xy + b4_y*T_yy + 1*T_wy - a4_y*K4
-1*1 = b4_x*T_xw + b4_y*T_yw          -    1*K4

你现在有12个线性方程和12个变量（矩阵元素T_**和额外的缩放参数K*）。使用线性代数库解决这个系统并获得结果（假设你不想自己编写求解器...）。