将3D点投影到2D平面

Question

将3D点投影到2D平面

math3dgeometry2dplane

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设A为一个点，它有3D坐标x、y、z，而我想将它们转换成2D坐标：x、y。投影将垂直于由给定法线定义的平面。当法线实际上是其中之一轴时，这个简单情况很容易解决，只需消去一个坐标即可，但其他更可能发生的情况该怎么办？

- Lighthink

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这个问题似乎不适合在这里发布，因为它涉及到几何学（请尝试访问http://math.stackexchange.com）。 - Oliver Charlesworth

2D平面中的(0,0)点在哪里定义？这个点是离3D原点最近的点吗？如何定义平面的x和y轴方向？ - John Alexiou

2个回答

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找出 A 在法向量上的投影。然后从A中减去该投影。剩下的部分就是A在正交平面上的投影。

单位法向量n的投影可以通过以下公式计算：

(A · n) n

如果 A = (x, y, z)，单位法向量为 n = (nx, ny, nz)，那么 A 在 n 上的投影是

(x*nx + y*ny + z*nz) n

因此，A在正交平面上的投影为。

A - (A · n) n
= (x, y, z) - (x*nx + y*ny + z*nz) (nx, ny, nz)

例如，如果A = (1,2,3)，n是方向为(4,5,6)的单位法向量，则：

In [12]: A
Out[12]: array([1, 2, 3])
In [17]: d
Out[17]: array([4, 5, 6])

In [20]: n = d/sqrt(4*4 + 5*5 + 6*6)   # make n a unit vector
In [13]: n
Out[13]: array([ 0.45584231,  0.56980288,  0.68376346])

所以A在正交平面上的投影是

In [15]: A - np.dot(A,n)*n
Out[15]: array([-0.66233766, -0.07792208,  0.50649351])

如何找到二维坐标：

您需要在正交平面上定义一个二维坐标系。换句话说，您需要定义x轴和y轴的位置。例如，您可以将x轴定义为(1,0,0)在正交平面上的投影（使用上面显示的计算）。这将适用于除了(1,0,0)与平面垂直的退化情况。

一旦您有了x和y轴方向的单位向量，那么您可以直接将A投影到x和y上。这些向量的大小就是二维坐标。

例如，这是(1,0,0)在平面上的投影。我们将其视为x轴方向：

In [42]: x = np.array([1,0,0])    
In [45]: x = x - np.dot(x, n) * n
In [52]: x /= sqrt((x**2).sum())   # make x a unit vector    
In [53]: x
Out[53]: array([ 0.89006056, -0.29182313, -0.35018776])

在这里，我们计算y轴的方向：y轴方向必须垂直于法线方向n和x。因此，我们可以定义y为n和x的叉积：

In [68]: y = np.cross(n, x)

In [69]: y
Out[69]: array([ -2.77555756e-17,   7.68221280e-01,  -6.40184400e-01])

所以这里是平面上 A 的坐标：

In [70]: np.dot(A, x), np.dot(A, y)
Out[70]: (-0.74414898890755965, -0.38411063979868798)

- unutbu

谢谢您的回答，但是现在我该如何将它们转换为二维坐标呢？我的意思是去掉z坐标，就像将其投影到屏幕上一样。 - Lighthink

我认为你把事情复杂化了。你只需要使用点积来获取投影距离（坐标）。 - John Alexiou

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可以查看英文原文，
原文链接

- John Alexiou · Accepted Answer

如果您有目标点P及其坐标为r_P = (x,y,z)，并且有一个法向量为n=(nx,ny,nz)的平面，您需要在该平面上定义一个原点以及两个正交方向x和y。例如，如果您的原点位于r_O = (ox, oy, oz)处，并且平面内的两个坐标轴由e_1 = (ex_1,ey_1,ez_1)、e_2 = (ex_2,ey_2,ez_2)定义，则正交性概念表述为：Dot(n,e_1)=0，Dot(n,e_2)=0，Dot(e_1,e_2)=0（即向量点积）。请注意，所有方向向量都应该被规范化（模长应该为一）。

您的目标点P必须满足以下等式：

r_P = r_O + t_1*e_1 + t_2*e_2 + s*n

其中t_1和t_2是沿着e_1和e_2的二维坐标，s是平面与点之间的正常分离（距离）。

这些标量通过投影找到：

s = Dot(n, r_P-r_O)
t_1 = Dot(e_1, r_P-r_O)    
t_2 = Dot(e_2, r_P-r_O)

以一个平面原点 r_O = (-1,3,1) 和法向量为例：

n = r_O/|r_O| = (-1/√11, 3/√11, 1/√11)

你必须为2D坐标选择正交方向，例如：

e_1 = (1/√2, 0 ,1/√2)
e_2 = (-3/√22, -2/√22, 3/√22)

使得 Dot(n,e_1) = 0，Dot(n,e_2) = 0，以及 Dot(e_1, e_2) = 0。

一个点P的二维坐标是 r_P=(1,7,-3)。

t_1 = Dot(e_1, r_P-r_O) = ( 1/√2,0,1/√2)·( (1,7,-3)-(-1,3,1) ) =  -√2
t_2 = Dot(e_2, r_P-r_O) = (-3/√22, -2/√22, 3/√22)·( (1,7,-3)-(-1,3,1) ) = -26/√22

并且在垂直于平面方向的分离：

s = Dot(n, r_P-r_O) = 6/√11