正确转换表面法线

Question

正确转换表面法线

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根据OpenGL红皮书的附录F，一个常规的3D变换矩阵M可以用于计算对法向量的作用，如下所示：

normalTransformed = transpose(inverse(M)) * normal

然而，虽然与转换后法线相关联的正交平面确实平行于转换后的表面，但转换后的法线向量本身可能指向我所期望的相反方向，即'进入'表面而不是'从表面出去'。

如果我希望normalTransformed指向正确的方向（即当其附加到的表面未转换时指向的方向相同），我应该如何在数学上实现？

示例

假设我的表面法线为(0,0,1)，我的变换是Z方向上的平移10。变换矩阵M如下：

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 10
0 0 0 1

转置（逆M）然后是：

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 -10 1

应用于表面法线(0,0,1)，即在齐次坐标中表示为(0,0,1,1)，得到：

normalTransformed = (0,0,1,-9)

回到非齐次坐标：

(0,0,-1/9)

归一化为长度1：

(0,0,-1)

与原始法线向量(0,0,1)相比，该向量指向相反的方向。

- reddish

2

这对我来说不太有意义。为什么正常情况会指向错误的方向？你能举个例子说明一下吗？我认为你那里的代码片段应该是正确的。 - Tim

好的，假设我的表面法线为（0, 0, 1）；并且我的变换是沿着Z方向平移10个单位。那么变换矩阵就是： - reddish

好的，假设我的表面法线是（0,0,1）；并且我的变换是在Z方向上平移10个单位。变换矩阵M如下：1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1其转置（逆矩阵）为：1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -10 1应用于表面法线（0,0,1），即齐次坐标中的（0,0,1,1），得到：normalTransformed = (0, 0, 1, -9)回到非齐次坐标： (0, 0, -1/9)归一化为长度为1：(0, 0, -1)与原始法线向量相比，指向相反的方向。 - reddish

很抱歉，这样的回答没有帮到你，我不知道在注释中添加格式是困难的（我在这里还比较新）。我会尝试将示例放在原始问题中。（完成） - reddish

4个回答

2

问题在于你正在除以 w 坐标，就好像你的法线是一个点一样。(当 w<0 时，这个除法会导致你的法线反转。) 相反，你需要完全忽略 w -坐标：放弃它，而不是除以它。

你的法线不是一个点，技术上来说它是一个协变量（这就是为什么它与点和向量的转换方式不同）。它实际上没有 w -坐标——添加一个的唯一原因是为了使用现有的 4x4 矩阵例程的方便。

如果你确实添加了任意的 w -坐标，你就有了具有给定法线的平面的齐次坐标。像法线一样，这样的平面通过所用于转换点的逆转置矩阵进行变换。（请注意，将平面除以其 w -坐标是没有意义的——平面也不是一个点！）

如果法线是从三角形派生出来的，那么三角形的平面应该有那个法线——但是，法线明显缺少确定确切平面的 w -坐标。给法线添加任意的 w（无论是 0，1 还是其他什么）意味着选择一个具有该法线的任意平面，因此将其进行变换会产生一个具有变换后法线的任意平面；这就是为什么你需要在使用 4x4 矩阵进行变换后忽略 w。

- comingstorm

1

如果您应用的仿射变换颠倒了坐标系的“左右性”，则应该仅在法线的相对方向上进行反转。例如，如果您按比例缩放[1, 1, -1]，就会发生这种情况。

根据书籍《基于物理的渲染》的说法，您可以通过计算左上角3x3（法线？）矩阵的行列式来检查此情况。如果行列式为负，则矩阵将改变左右性，并且您应该反转法线。

[我昨天刚刚读到这个，这是我从记忆中引用的]。

- Alnitak

1

尼古拉斯·波拉斯在他的回答中所写的是绝对正确的，我不会重复那些概念。

但我注意到问题中有一些有趣的点。

首先，正常矩阵通常被定义为模型视图矩阵左上角3x3矩阵的逆转置。这是因为法线不使用齐次位置定义，实际上不需要4x4矩阵；如果您想使用整个模型视图矩阵，请遵循尼古拉斯·波拉斯的指导，但数学仍然相同（因为w为零）。

其次，您已经说明：

我希望normalTransformed指向正确的方向（即当它所附着的表面未经变换时指向的方向相同），从数学上讲应该如何做到这一点？

正常矩阵用于与模型变换一致地转换法线（事实上，正常矩阵是从模型视图矩阵派生出来的）。从您的引用中我可以理解到，您希望法线不被转换...实际上，为什么要转换它？您可以直接使用“normal”。

- Luca

我想我没有完全清楚 - 我确实希望得到转换后的法线; 但是我需要它与未转换和转换版本所属表面之间具有相同的关系，也就是说：如果法线指向未转换的表面外部，则对于转换版本也应该如此; 而我认为我看到的是，在某些情况下，转换后的版本指向“进入”表面，即与所需的转换后法线向量相反180度。 - reddish

现在我明白了。确实需要更多的细节：你的输入、代码以及在“这些情况下”的结果。否则你就会独自一人，因为理论已经被利用了。 - Luca

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可以查看英文原文，
原文链接

- Nicol Bolas · Accepted Answer

应用于表面法向量（0,0,1），即在齐次坐标中为（0,0,1,1）。

好的，请停下来。

如果您想将表面法线视为齐次坐标，则W分量应使用零而不是1。您可能很快就会意识到不能除以零，但这也是为什么不对法向量进行齐次数学运算的原因。

法向量不是位置；它是一个方向。方向没有位置，因此对其进行平移毫无意义。W=0的齐次位置表示与“位置”无限远（这就是为什么您不能将它们相除的原因）。无限远的位置与每个有限点都无限远。

因此，无穷远处的位置是一个方向：无论从哪个（有限的）位置看它，它的方向都不会改变。

现在，如果您有一个4x4矩阵并需要通过它转换一个法向量，则只使用W=0是因为它使数学计算正确。它消除了矩阵的平移分量。应完全忽略后转换的W分量。

因此，在转换后，您会得到：

法线变换后 = （0，0，1，-9）

在忽略W分量后变为：

法线变换后 = （0，0，1）

更有可能的是，您的法线实际上并没有指向正确的方向。当然，在没有代码和数据的情况下，很少有更多可以说的，但数学运算假定输入合法。

此外，请不要在着色器中进行逆/转置操作。在CPU上进行操作并将结果矩阵传递到着色器中。