OpenGL/GLUT圆锥的表面法线

Question

OpenGL/GLUT圆锥的表面法线

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我使用GL_TRIANGLE_FAN创建了一个圆锥体。

// draw the upper part of the cone
glBegin(GL_TRIANGLE_FAN);
glVertex3f(0, 0, height);
for (int angle = 0; angle < 360; angle++) {
    glVertex3f(sin(angle) * radius, cos(angle) * radius, 0);
}
glEnd();

// draw the base of the cone
glBegin(GL_TRIANGLE_FAN);
glVertex3f(0, 0, 0);
for (int angle = 0; angle < 360; angle++) {
    // normal is just pointing down
    glNormal3f(0, -1, 0);
    glVertex3f(sin(angle) * radius, cos(angle) * radius, 0);
}
glEnd();

我该如何获取表面法线？对于底部，我可以说法线只是指向下方的吗？

更新：我尝试使用

for (int angle = 0; angle < 360; angle++) {
    glNormal3f(sin(angle), cos(angle), 0);
    glVertex3f(sin(angle) * radius, cos(angle) * radius, 0);
}

但在某些角度看起来很奇怪... 输入图像描述

第二幅图像看起来只是一个实色？

- Jiew Meng

这个问题可能会有所帮助：https://dev59.com/cHrfs4cB2Jgan1zngjyu - fen

你的披风通常需要(sin, 0, cos)作为“向上”的部分（Y坐标）不变。然而，Y坐标（以及其他两个坐标）取决于锥体斜率的角度，因此更像是（cos（slopeAngle）* sin（angle），sin（slopeAngle），cos（slopeAngle）* cos（angle））。 - Nobody moving away from SE

@Nobody，披风在哪里？ - Jiew Meng

@JiewMeng：嗯，这是一个翻译错误。我只知道德语术语（Mantelfläche）。我指的是圆锥体的面而不是底部。正确的词可能是侧面。 - Nobody moving away from SE

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顺便提一下：不要忘记为圆锥的顶部设置正确的法线。由于它对所有三角形都有贡献，因此应该指向正上方。 - Nobody moving away from SE

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- Nobody moving away from SE · Accepted Answer

假设您的圆锥高度为h，半径为r，并且它是竖立的（即其尖端指向+Y方向），则其侧面法线取决于两个角度：圆形底面的角度和锥体顶部的角度（我们称之为锥角或α）。这个锥角又取决于h和r的比率。

观察圆锥的横截面，我们可以看到基本上是一个直角三角形，其中一个直角边长为h，另一个为r。假设h直角边从原点沿Y轴向上延伸，r直角边从原点沿X轴向上延伸。现在我们想计算斜边的法线朝外的点。

在三角形上进行一些角度计算后，我们可以看到斜边的法向量具有以下形式：

(cos(coneAngle), sin(coneAngle))

使用

coneAngle = atan(r / h)

当然，这只是在二维情况下，我们需要3D对应的版本。首先，我们需要XZ平面上圆形的法向量。这可以写成

(cos(circleAngle), 0, sin(circleAngle))

现在我们可以将这两个方程组合成一个普通的方程。我们的斜率法线有水平和垂直两部分。垂直部分直接进入Y坐标，而水平部分对水平方向（X和Z）都有贡献。

(cos(coneAngle) * cos(circleAngle), sin(coneAngle), cos(coneAngle) * sin(circleAngle))

基本上有两个向量：指向锥顶的上向量和由圆形法线生成的水平向量。这两个向量形成一个基础，我在这里所做的是将XY 2D空间（圆锥正常）应用于由圆形法线和上向量（Y轴）跨越的空间中的线性变换。要进行此转换，您需要将XY空间向量的组件与其他空间的相应基向量相乘，并将结果相加，因此您基本上计算：

cos(coneAngle) * (cos(circleAngle), 0, sin(circleAngle)) + sin(coneAngle) * (0, 1, 0)

更新

我刚刚注意到，在斜边法线图像中的两个三角形是相似的，这意味着可以在不使用三角函数的情况下计算法线：给定斜边长度 c = sqrt(h * h + r * r)，我们可以从三角形的相似性得知：

n_x / 1 = n_x = h / c

并且

n_y / 1 = n_y = r / c

因此，斜边法线为：

1/c * (h, r)

顺便提一下，乘以因子1/c只是对向量(h, r)进行归一化的操作。